Задача 1. Оптимальный набор продуктов А и В.

Нефтяная компания «РТ» для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют «РТ» две химические компании А и В. Содержание химических добавок в каждом продукте и минимальное количество этих добавок, которое должно присутствовать в 1000 л топлива, а также цена 1 л каждого продукта приведены в таблице.

	Химические добавки, мг/л			Цена, ф.ст./л
Продукт	X	Y	Z
А	4	2	3	1,5
В	5	1	1	3,0
Содержание (не менее), мг/1000 л	40	14	18

Требуется: найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть x_i — количество литров каждого продукта в оптимальном ассортиментном наборе для 1000 л топлива, тогда целевая функция задачи линейного программирования будет иметь вид:

f(x) = 1,5*х₁ + 3,0*х₂  min.

Ограничения задачи имеют вид:

4*х₁ + 5*х₂  40;

2*х₁ + х₂  14;

3*х₁ + х₂  18;

х_1-2  0 – ограничение по смыслу задачи.

Задачу поиска оптимального набора, минимизирующего целевую функцию (стоимость), будем решать с помощью ПП MS Excel, используя опцию Поиск решения.

Поиск решения — это надстройка Excel, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберите команду Сервис => Надстройки и активизируйте надстройку Поиск решения.

После выбора команд Сервис => Поиск решения появится диалоговое окно Поиск решения.

В диалоговом окне Поиск решения есть три основных параметра:

• Установить целевую ячейку.

• Изменяя ячейки.

• Ограничения.

Сначала нужно заполнить поле Установить целевую ячейку. Во всех задачах для средства Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Для данной задачи необходимо выбрать поиск наибольшего значения для целевой ячейки.

Второй важный параметр средства Поиск решения — это параметр Изменяя ячейки. Здесь указываются ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. К этим ячейкам предъявляется два основных требования: они не должны содержать формул и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависит от изменяемых ячеек.

Третий параметр, который нужно вводить на вкладке Поиск решения, — это Ограничения.

Для решения задачи необходимо:

1) указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки);

2) ввести исходные данные;

3) ввести зависимость для целевой функции;

4) ввести зависимости для ограничений;

5) запустить команду Поиск решения;

6) назначить ячейку для целевой функции (установить целевую ячейку);

7) ввести ограничения;

8) ввести параметры для решения ЗЛП.

Рассмотрим технологию решения, используя математическую модель задачи.

Составим шаблон расчетной таблицы (рис.1).

	A	B	C	D	E	F	G	H
1			Переменные
2		Х1	Х2
3	значение					ЦФ
4	к-ты ЦФ
5		Ограничения
6						л.ч.	знак	пр.ч.
7	X						>=
8	Y						>=
9	Z						>=

Рис.1. Шаблон расчетной таблицы

Решение

1. Укажем адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

Обозначим через Х1 – Х2 количество литров каждого продукта в ассортиментном наборе для 1000 л топлива. В нашей задаче оптимальные значения вектора X = (Х1, Х2) будут помещены в ячейках B3:С3, оптимальное значение целевой функции — в ячейке F4.

2. Введем исходные данные задачи, как показано на рис. 2.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1			Переменные
2		Х1	Х2
3	значение					ЦФ
4	к-ты ЦФ	1,5	3,0
5		Ограничения
6						л.ч.	знак	пр.ч.
7	X	4	5				>=
8	Y	2	1				>=
9	Z	3	1				>=

Рис.2. Введены исходные данные

3. Ввести зависимость для целевой функции.

• Поместить курсор в ячейку “F4”, произойдет выделение ячейки.

• Поместить курсор на кнопку Мастер функций, расположенную на панели инструментов.

• Сделать один щелчок левой кнопкой мыши (в дальнейшем будем писать “1 щелчок”. На экране появится диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2.

• В окне Категория выбрать категорию Математические.

• В окне Функции выбрать строку СУММПРОИЗВ (рис. 3).

Рис.3. Выбор функции

• На экране появляется диалоговое окно СУММПРОИЗВ (рис. 4).

• В строку Массив 1 ввести В3:C3.

• В строку Массив 2 ввести В4:C4.

• Нажать ОК. (Рис.4).

Рис.4. Ввод данных для функции СУММПРОИЗВ.

Массив 1 будет использоваться при вводе зависимостей для всех ограничений, поэтому на этот массив надо сделать абсолютную ссылку ($B$3:$C$3), чтобы при копировании значения этих ячеек оставались неизменными). Для введения абсолютной ссылки после ввода диапазона надо нажать F4. Введение диапазона ячеек удобно делать путем “протаскивания” курсора при нажатой левой кнопке мыши.

На рис. 5 показано, что в ячейку F4 введена целевая функция. (Пока ее значение равно нулю, т.к. ячейки B3:С3 не заполнены).

	A	B	C	D	E	F	G	H
1			Переменные
2		Х1	Х2
3	значение	0	0			ЦФ
4	к-ты ЦФ	1,5	3,0			0
5		Ограничения
6						л.ч.	знак	пр.ч.
7	X	4	5				>=
8	Y	2	1				>=
9	Z	3	1				>=

Рис.5. Введена зависимость для целевой функции.