3. Справочные материалы

1) С = 0

9)

2) (x^m) = mx^m-1

10)

3)

11)

4)

12)

5)

13)

6)

14)

7)

15)

8)

16)

1

=

13

=

2

=

14

=

arcsin + C

3

=

15

=

4

=

e^x + C

16

=

ln

5

=

sinx + C

17

6

=

-cosx + C

18

7

=

-lncosx+C

19

8

=

lnsinx+ C

20

9

=

tgx + C

21

10

=

-ctgx + C

22

11

=

23

12

=

24

№

Вид интеграла

Способ вычисления

I.

Табличный интеграл

Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов

= F(x) +С

«Почти» табличный интеграл

Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов

= F(x+а) +С

«Почти» табличный интеграл

Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов, коэффициент а ставится в знаменатель.

= F(аx) +С

Иногда, при вычислении необходимо преобразовать подынтегральную функцию, раскрыв скобки, разделив почленно, применив тригонометрические формулы.

II.

Интеграл, содержащий функцию и ее производную

Вычисляется методом замены переменной

сводится к типу I.

III.

Произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функцию

Вычисляется методом интегрирования по частям: разбиваем интеграл на части и .

Для u вычисляем дифференциал du, для dv первообразную v, применяем формулу .

Второй интеграл сводится к I, II или XIV.

IV.

Произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию

Вычисляется методом интегрирования по частям: разбиваем интеграл на части и .

Для u вычисляем дифференциал du, для dv первообразную v, применяем формулу .

Второй интеграл сводится к I, II или XIV.

V.

Интеграл от рациональной функции, аргументами которой являются

Применяется универсальная тригонометрическая подстановка

Далее интеграл сводится в виду I, II, XIV, IX.

VI.

Интеграл от рациональной функции, являющейся четной относительно

Интеграл от рациональной функции, аргументами которой является

Применяется подстановка:

Далее интеграл сводится в виду I, II, XIV, IX.

VII.

Применяется формула

Применяется формула

Применяется формула

VIII

если m – целое, нечетное, положительное число, делаем подстановку тогда . Получаем интеграл вида I.

если n – целое, нечетное, положительное число, делаем подстановку тогда . Получаем интеграл вида I.

если m и n – целые, четные положительные, то применяем формулы

Получаем интеграл вида I.

если m+n – целое четное отрицательное число, делаем подстановку . Получаем интеграл вида I.

IX.

Выделяем полный квадрат

,

делаем замену

Получаем интегралы вида I, II.

X.

Делаем подстановку . Получаем интеграл вида IX.

XI

Делаем замену

Получаем интегралы вида I, II, XIV.

XII

Делаем тригонометрическую подстановку

.

Получаем интеграл вида VIII.

Делаем тригонометрическую подстановку

.

Получаем интеграл вида VIII.

Делаем тригонометрическую подстановку

.

Получаем интеграл вида VIII.

XIII

Интеграл от дифференциального бинома

если р – целое число, делаем замену

=НОК(знаменателей m и n).

Получаем интегралы вида I, II, XIV.

если – целое число, делаем замену

= знаменателю р,

Получаем интегралы вида I, II, XIV.

если – целое число, делаем замену

= знаменателю р,

Получаем интегралы вида I, II, XIV.

XIV

Интеграл от рациональной дроби

– многочлен степени m, – многочлен степени n.

Для вычисления интеграла необходимо:

– если дробь неправильная , нужно выделить целую часть, разделив числитель дроби на знаменатель, т.е. представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби;

– разложить знаменатель дроби на множители;

– разложить правильную дробь на сумму простейших дробей в соответствии с полученными в знаменателе множителями:

множителю соответствует k дробей

множителю соответствует s дробей – сумму дробей привести к общему знаменателю;

– приравнять числители дробей;

– приравнять коэффициенты перед одинаковыми степенями х;

– найти неизвестные коэффициенты А, В, С…;

– проинтегрировать получившуюся сумму (получатся интегралы вида I, II, IX).