МИНОБРНАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
Материалы для подготовки к экзамену по математике
для студентов 1 курса
Семестр 2
СОДЕРЖАНИЕ
1. Вопросы для подготовки к экзамену 4
1.1. Интегрирование функции одной переменной. 4
1.1.1. Неопределенный интеграл 4
1.1.2. Определенный интеграл. 4
1.2. Дифференциальные уравнения (ДУ). 5
1.3. Функции нескольких переменных. 5
2. Варианты экзаменационных билетов 6
2.1. Билет 1 (определенный интеграл, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения) 6
2.2. Билет 2 (неопределенный интеграл, определенный интеграл, дифференциальные уравнения) 6
2.3. Билет 3 (неопределенный интеграл, определенный интеграл, функции нескольких переменных) 6
2.4. Билет 4 (неопределенный интеграл, определенный интеграл, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения) 7
3. Справочные материалы 10
3.1. Дифференцирование функции одной переменной 10
3.2. Неопределенный интеграл 11
3.4. Определенный интеграл 15
3.5. Функции нескольких переменных. 17
3.6. Дифференциальные уравнения. 20
1. Вопросы для подготовки к экзамену
1.1. Интегрирование функции одной переменной.
1.1.1. Неопределенный интеграл
Первообразная. Определение.
Интегрирование по частям и способ замены переменной в неопределенном и определенном интеграле.
Интегрирование рациональных дробей и квадратных трехчленов. Теоремы о разложении рациональных дробей на простейшие.
Универсальная тригонометрическая подстановка
.
Использование подстановки
для интегрирования тригонометрических
функций.Вычисление интегралов типа
.Интегрирование иррациональных функций, использование тригонометрических подстановок.
Интегрирование трансцендентных функций.
Интегрирование иррациональных функций, Бином Ньютона.
Мера плоского множества.
1.1.2. Определенный интеграл.
Определение и вычисление определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница. Свойства.
Несобственные интегралы по бесконечным пределам интегрирования - определения, теоремы о сходимости.
Несобственные интегралы от разрывных функций, определения.
Вычисление площади области - случай явного и параметрического задания функций.
Вычисление площади области - случай полярных координат.
Вычисление длины дуги кривой - случай явного, параметрического задания функций, полярных координат.
Вычисление объема тела вращения (вокруг оси Ох, Оу).
Численные методы вычисления интегралов. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
1.2. Дифференциальные уравнения (ду).
ДУ 1-го порядка - определение общего, частного решения, ДУ в разделенных переменных. Задача Коши, уравнение Бернулли.
Однородные и линейные ДУ 1-го порядка.
ДУ 2-го порядка - определение общего, частного решений. ДУ, допускающие понижение порядка.
Линейное ДУ 2-го и n-го порядка, классификация, определения общего и частного решения. Структура общего решения однородного уравнения.
Фундаментальная система решений для однородного линейного ДУ 2-го и n-го порядков.
Общее решение однородного линейного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (случаи разных, равных, комплексных корней характеристического уравнения ).
Общее решение однородного линейного ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Структура общего решения неоднородного линейного ДУ с постоянными коэффициентами 2-го и n-го порядка.
Отыскание частного решения неоднородного линейного ДУ с постоянными коэффициентами 2-го и n-го порядка.
Системы ДУ .
Метод Эйлера решения дифференциального уравнения 1 порядка.