Задание № 3. Квантовая теория теплоемкости. Модель Дебая. Фононы.

В модели Дебая кристалл моделируется изотропной упругой средой, в которой возможно распространение продольных звуковых волн (скорость которых обозначим через и поперечным волн с двумя независимыми направлениями поляризации( и одинаковой скоростью распространения ). Частота этих волн связана с абсолютной величиной волнового вектора .

Число собственных колебаний в спектре звуковых волн с абсолютной величиной волнового вектора в интервале и с данной поляризацией равно

г

(2)

(3)

де – объем тела. Полагая для одной из трех независимых поляризаций найдем, что всего в интервале имеется следующее число колебаний:

Введем среднюю скорость звука согласно определению

Т

(4)

огда выражение (2) запишется в виде

С

(5)

огласно квантовой механике энергия колебаний может принимать только дискретные значения

,

г

(6)

де Квант (порция) энергии упругих колебаний называется фононом. Фоном является квазичастицей, которая обладает импульсом и энергией . Согласно формуле Планка в термодинамическом равновесии среднее число фононов с импульсом и энергией равно

Умножив распределение (6) на число колебаний в интервале от найдем число фононов в данном интервале:

У

(7)

(8)

множив эту величину на , получим энергию упругих колебаний, заключенную в этом участке спектра:

В

(9)

модели Дебая предполагается , что частоты колебаний лежат в интервале где называется частотой Дебая. Эта частота определяется из условия равенства полного числа колебаний в кристалле числу , где – число атомов в кристалле, т.е.

(10)

откуда

С

(11)

учетом (9) формула для полной энергии колебаний будет иметь вид

В

(12)

ведем новую переменную интегрирования . Тогда

При анализе формулы (12) различают случаи низких и высоких температур.

В

(13)

случае низких температур ( верхний предел интегрирования в формуле (12) может быть положен равен бесконечности. С учетом того, что интеграл равен , получим

Т

(14)

еплоемкость кристалла

В случае высоких температур ( в подынтегральном выражении в формуле (12) , поэтому экспоненту в знаменателе можно разложить в ряд Тейлора .

(15)

Подставляя это разложение в формулу (12) и выполняя элементарное интегрирование, получим

(16)

а для теплоемкости

Для одного моля вещества, когда , где газовая постоянная. Этот результат составляет содержание закона Дюлонга и Пти, согласно которому при достаточно высоких температурах решеточная теплоемкость не зависит от температуры и для одного моля вещества равна независимо от природы тела.

1. Рассмотреть двухмерный кристалл, для которого число колебаний с абсолютной величиной вектора в интервале и с заданной поляризацией равно

где S – площадь тела.

1.1. Получить формулу для энергии колебаний для двухмерного кристалла. Рассмотреть случаи высоких и низких температур. Получить формулы для энергии колебаний и теплоемкости решетки в этих предельных случаях.

1.2. Получить формулу для полного числа фононов для двухмерного кристалла. Рассмотреть случаи низких и высоких температур. Сравнить полученные формулы для трехмерного кристалла.

2. Выполнить задание 1 для одномерного кристалла, для которого число колебаний с абсолютной величиной волнового вектора в интервале и с заданной поляризацией равно

где – длина тела.

3. Вычислить импульс, который передается участку поверхности кристалла с единичной площадью в единицу времени при упругом рассеянии фононов на поверхности кристалла.

3.1. С учетом того, что передаваемый импульс равен давлению, получить уравнение состоянии для фононного газа в кристалле, т.е. получить зависимость

3.2. Получить уравнение адиабаты для фононного газа. Для этого воспользуемся первым законом термодинамики, согласно которому при адиабатическом процессе Рассмотреть случаи высоких и низких температур.

4. Пользуясь, классической теорией теплоемкости, вычислить удельные теплоемкости Al, Cu, NaCl и CaCl₂.

5. Вычислить фононное давление в свинце при температуре Характеристическая температура Дебая свинца равна 85 К.

5.1. Воспользовавшись представлением о том, что упругая волна является потоком фононов, вычислить поток тепловой энергии в направлении оси через участок поверхности единичной площади в единицу времени.

5.2. Согласно закону Фурье поток тепловой энергии определяется формулой:

где – коэффициент теплопроводности. Поток энергии через единичную поверхность, перпендикулярную оси и пересекающую эту оси в точке с координатой , может быть записан в виде

где поток энергии в положительном направлении оси через единичную поверхность с координатой ; поток энергии в положительном направлении оси через единичную поверхность с координатой ; длина свободного пробега фонона. Считая, что потоки энергии определяются потоками фононов, соответствующих температурам , и воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, согласно которому , получить формулу для коэффициента теплопроводности, связанного с фононным механизмом теплопроводности.

6. Воспользовавшись формулой для фононной теплопроводности решетки , где – теплоемкость единицы объема; – скорость звука; – длина свободного пробега фонона, вычислить среднюю длину свободного пробега в кварце SiO₂ при некоторой температуре, если про той же температуре , молекулярная теплоемкость и усредненная скорость звука равно 5 км/с. Плотность кварца равна кг/м³.

7. Найти отношение средней длины свободного пробега фононов к параметру решетки при комнатной температуре в кристалле NaCl, если теплопроводность при той же температуре равна 71 Вт/ . Молекулярную теплоемкость вычислить по формуле общее число частиц в химической формуле соединения. Относительные атомные массы: плотность кристалла равна кг/м³. Усредненная скорость звука принять равной 5 км/с.