Министерство науки, высшей школы и технической политики российской федерации самарский государственный технический университет

Кафедра физики

Кристаллические решетки, электронные и тепловые свойства твердых тел

Методические указания

к самостоятельной работе студентов

по физике твердого тела

С амара, 2014.

Составитель: А. И. Волокитин

УДК 539. 1

Кристаллические решетки. Электронные и тепловые свойства твердых тел: Метод. указ. к самостоятельной работе студентов по физике твердого тела/ Самар. гос. техн. ун-т; Сост. А. И. Волокитин. Самара, 2014. 28 стр.

Содержат сведения, необходимые при выполнении студентами самостоятельной работы по физике твердого тела. Указания содержат теоретические вопросы, качественные и расчетные задачи.

Методические указания рассчитаны на студентов физико-технических специальной вузов.

Табл. 2. Ил. 3. Библиограф.: 6 назв.

Задание № 1 кристаллические решетки

Основу симметрии кристаллической решетки составляет ее трансляционная периодичность – свойство совмещаться сама с собой при параллельном переносе на вектор трансляции.

,

где – базисные векторы, через которые может быть выражен любой вектор трансляции, – целые числа. Атомы решетки, которые могут быть совмещены друг с другом при трансляции на вектор , называются эквивалентными. Совокупность эквивалентных атомов образует решетку Бравэ. Параллепипед, построенный на базисных векторах , называется примитивной элементарной решеткой. В решетке Бравэ атомы расположены только в вершинах примитивной элементарной ячейки. В реальной кристаллической решетке атомы могут быть расположены и внутри примитивной элементарной ячейки. Реальная кристаллическая решетка представляет собой несколько решеток Бравэ, вдвинутых друг в друга. Существует четырнадцать решеток Бравэ, которые подразделяются на сеть систем в соответствии с семью типами элементарных ячеек. Примитивная элементарная ячейка является частным случаем элементарной ячейки. Посредством соответствующих трансляций с помощью элементарной ячейки можно заполнить все пространство кристаллической решетки. Примитивная элементарная ячейка является ячейкой с минимальным объемом.

Плоскость, которая проходит через бесконечную совокупность атомов решетки Бравэ, называется кристаллической. Кристаллическую плоскость принято обозначать с помощью индексов Миллера. Для того, чтобы найти индексы Миллера для данной кристаллической плоскости, необходимо найти отрезки, которые отсекает данная плоскость на кристаллографических координатных осях, задаваемых базисными векторами . Пусть эти отрезки равны в единицых длин векторов элементарных трансляций . Найдем соотношение . Приведем полученные дроби к наименьшему целому, кратному каждой из этих дробей. Полученные числа заключают в круглые скобки и называют индексами Миллера. Например, для плоскости, которая пересекает оси в точках с координатами [[400]], [[010]] и [[002]], длины отрезков, отсекаемых на соответствующих осях, будут 4, 1 и 2. Обратные числа будут 1/4, 1, 1/2. Наименьшие целые кратные этим дробям есть 1, 4, 2, т.е. индексы Миллера данной плоскости есть (142). Если плоскость пересекает данную координатную ось в бесконечности, то соответствующий индекс Миллера равен нулю.

1. Кубическая решетка Бравэ. К кубическим относятся три решетки Бравэ: 1) простая кубическая (ПК), в которой атомы расположение в вершинах куба; 2) объемоцентрированная кубическая (ОЦК), в которой атомы расположены в вершинах куба и в центре куба; 3) гранецентрированная кубическая (ГЦК) , в которой атомы расположены вершинах и центрах граней куба. На рис. 1, а показаны элементарные ячейки для ПК: 1, б – ОЦК и 1, в – ГЦК решеток.

Рис. 1

а

1

б

в

.1. Построить примитивные элементарные ячейки для ОЦК и ГЦК решеток.

1.2. Определить базисные векторы для ОЦК и ГЦК решеток Бравэ, выразив их через взаимно перпендикулярные векторы основных трансляций, направленных вдоль ребер куба

1.3. Вычислить характеристики кубических решеток и заполнить табл. 1, считая длину ребра куба равной а

Таблица 1

Параметры решетки	Тип решетки
	ПК	ОЦК	ГЦК
Объем примитивной элементарной ячейки
Число атомов на одну элементарную ячейку
Число ближайших соседей
Расстояние между ближайшими соседями
Число соседей, следующих за ближайшими
Расстояние до соседей, следующих за ближайшими

2. Гексагональная структура с плотной упаковкой. Часто для описания структуры металлов прибегают к модели твер­дых шаров, в которой атомы кристалла считают твердыми шарами, упакованными как можно плотнее.

Шары можно уложить плотноупакованным плоским слоем так, чтобы каждый шар соприкасался с шестью другими, как показано на рис. 2. На этом рисунке центры шаров первого слоя помечены точками А. Шары второго слоя можно разместить так, что их центры займут положение В. Укладку шаров третьего слоя можно осуществить двумя способами, помещая их либо над А, либо над С. Если шары третьего слоя

Рис.2

уложить над углублениями второго слоя, которые не заняты шарами второго слоя (положение С), то получим кубическую гранецентрированную структуру. Если расположить шары третьего слоя непосредственно над шарами первого слоя (положение А), то получится гексагональная структура с плотной упаковкой (ГПУ). Чередование слоев для кубической плотной упаковки можно

записать АВСАВС..., а для гексагональной плотной упаковки— АВАВАВ... .

2.1. Доказать, что плотная упаковки шаров типа АВСАВС является кубической гранецентрированной структурой.

2.2. Построить элементарную ячейку для гексагональной структуры с плотной упаковкой. Показать, что элементарная ячейка имеет вид призмы.

2.3. Считая, что радиус шара равен , показать , что вы­сота призмы , а длина стороны ромба, который лежит в основании призмы, . Вычислить отношение для плотноупакованной гексагональной структуры.

2.4. Количественной мерой плотности упаковки решетки является коэффициент , равный доле пространства, занятого твердыми шарами. Вычислить для ПК, ГЦК, ОЦК и ГРУ структур. Результаты занести в табл. 2.

Таблица 2

Решетка
ГЦК
ОЦК
ГПУ (идеальная)
ПК

3. Обратная решетка. Базисные векторы обратной решетки определяются формулам

, где – базисные векторы прямой решетки; – объем примитивной элементарной ячейки прямой решётки.

3.1. Выразив базисные векторы через взаимно перпендикулярные векторы основных трансляций , определить базисные векторы решеток, обратных ПК, ОЦК, ГЦК решеткам.

3.2. Доказать, что: 1) обратной решеткой ПК решетки яв­ляется также ПК решетка; 2) обратной решеткой ОЦК ре­шетки является ГЦК решетка; 3) обратной решеткой ГЦК решетки является ОЦК решетка.

3.3. Уравнение вида , где – постоянный вектор, описывает плоскость, перпендикулярную к вектору и находящуюся на расстоянии от начала координат. Используя этот результат, доказать, что вектор обратной решетки

перпендикулярен к кристаллической плоскости с индексами Миллера ( . Вычислить расстояние между двумя последовательными кристаллическими плоскостями с индексами Миллера ( . Показать, что

4. Система плоскостей в ПК решетке задана индексами Миллера (221). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые на осях координат и изобразить эту плоскость графически.

5. Определить параметр ПК решетки, если межплоскостное расстояние для системы плоскостей, заданных индексами Миллера (212) при рентгеноструктурном измерении, оказалась равным 0,12 нм.