Метод зваженого рухомого середнього

При прогнозуванні методом усереднювання часто доводиться спостерігати, що ступінь впливу використаних при розрахунку реальних показників виявляється неоднаковим, при цьому звичайно більш «свіжі» дані мають більшу вагу. Математично метод зваженого рухомого середнього можна записати як

де x_k-i – реальне значення показника у момент часу; 

N – кількість попередніх моментів часу, що використовуються при розрахунку;  f_k – прогноз на момент часу t_k; 

w_i – вага, з якою використовується показник x_k-i при розрахунку.

Метод експоненціального згладжування

Експоненціальне згладжування – це дуже популярний метод прогнозування багатьох часових рядів. Історично метод був незалежно відкритий Броуном і Холтом. При розрахунку прогнозу методом експоненціального згладжування (exponential smoothing) враховується відхилення попереднього прогнозу від реального показника, а сам розрахунок проводиться за такою формулою:

де α – стала згладжування (0 < α < 1). 

Наведені методи рухомого середнього і експоненційного згладжування належать до прийомів трендового аналізу. Тренд - це тривала тенденція зміни

економічних показників у часі. Під час розробки моделей прогнозування тренд є основною складовою прогнозованого часового ряду, на який вже накладаються інші складові.

Розділ 2 прогнозування обсягів збуту продукції методами згладжування

Вихідні дані: маємо обсяги збуту продукції підприємства за останній рік(табл.1), які подані також у вигляді графіка нижче (графік1):

Табл. 1 Вихідні дані

№	Обсяг збуту
1	677
2	661
3	677
4	683
5	678
6	720
7	722
8	684
9	676
10	669
11	669
12	701

Графік 1 Обсяг збуту продукції

Також маємо додаткові дані (див.табл.2)

Табл. 2 Вагові коефіцієнти

№4	Вікно усереднення(n)	Вагові коефіцієнти			α
		w1	w2	w3
	3	0,67	0,23	0,1	0,5

Завдання 1 Для вибірки розрахуємо середнє значення (1), дисперсію (2) та середнє квадратичне відхилення (3), за формулами:

(1)

(2)

(3)

Після проведення всіх розрахунків отримаємо (див.табл.3):

Табл.3 Отримані розрахунки

Ȳ=	4200,3
D=	349,0
σ=	18,7

Завдання 2 Спрогнозувати місячний попит на наступний квартал.

Завдання 2.1 Спрогнозувати дані методом простого рухомого середнього, беручи до уваги вікно усереднення та визначити похибку. Занести дані до таблиці та побудувати графік

Табл.4 Прогноз обсягів збуту продукції методом простого рухомого середнього

Y	Прогноз(Ŷ)	ei	Похибка
1		е1
2		е2
3		е3
4	671,7	е4	11,3
5	673,7	е5	4,3
6	679,3	е6	40,7
7	693,7	е7	28,3
8	706,7	е8	-22,7
9	708,7	е9	-32,7
10	694,0	е10	-25,0
11	676,3	е11	-7,3
12	671,3	е12	29,7
∑	6175,3

Графік 2 Прогноз обсягів збуту продукції методом простого рухомого середнього

Завдання 2.2. Спрогнозувати дані методом зваженого рухомого середнього, беручи до уваги вікно усереднення, та обчислити похибку. Робимо обчислення за формулою:

Сума вагових коефіцієнтів повинна дорівнювати одиниці, за умови, що w₁ >w₂>w_{3 .} Якщо сума коефіцієнтів не дорівнює одиниці, треба розраховувати четвертий.

Отже, розраховуємо дані, заносимо в табл.3 та будуємо відповідний графік.

Таблиця 5. Прогноз обсягів збуту продукції методом зваженого рухомого середнього

Yi	Прогноз(Ŷi)	ei	Похибка
1		е1
2		е2
3		е3
4	673,3	е4
5	679,4	е5	9,7
6	679,1	е6	-1,4
7	706,6	е7	40,9
8	717,1	е8	15,4
9	696,3	е9	-33,1
10	682,4	е10	-20,3
11	672,1	е11	-13,4
12	669,7	е12	-3,1
∑	6176,2

Будуємо графік:

Графік 3. Прогноз обсягів збуту продукції методом зваженого рухомого середнього

Завдання 2.3. Спрогнозувати дані методом однократного експоненціального зваженого, враховуючи вікно усереднення, та обчислити похибку. Отримані дані занести до таблиці та побудувати відповідний графік. Для проведення обчислень скористаємося формулою:

Таблиця 6. Прогноз обсягів збуту продукції методом однократного експоненціального зваженого

Yi	Прогноз(Ŷt)	ei	Похибка
1		е1
2		е2
3		е3
4		е4
5	678,2	е5	-0,2
6	678,7	е6	41,3
7	699,5	е7	22,5
8	714,3	е8	-30,3
9	700,6	е9	-24,6
10	686,2	е10	-17,2
11	675,7	е11	-6,7
12	670,6	е12	30,4
∑	5503,7

Тепер побудуємо графік:

Графік 4. Прогноз обсягів збуту продукції методом однократного експоненціального зваженого

Завдання 3 Побудувати графік на одній площині звітних графіків та прогнозів

Графік 5 Звітний графік прогнозування за останній рік методами згладжування