Лекция №3 Дифференциальные уравнения гидравлики План

1. Дифференциальные уравнения движения жидкости.

2. Уравнения Бернулли.

3. Примеры практического использования уравнения Бернулли.

1.Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.

– 2-ой закон Ньютона.

- это дифференциальные уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой капельной жидкости.

При движении идеальной жидкости (μ = 0) получаются дифференциальные уравнения движения Эйлера (трение отсутствует).

Для установившегося потока:

и т.д.

Для нестационарного потока:

.

Для неподвижной жидкости сила инерции равна нулю:

– дифференциальные уравнения Эйлера.

Интеграл последних уравнений для всего объема жидкости представляет собой основное уравнение гидростатики.

Лекция №4 Явления переноса и уравнение баланса

Проведение ХТП связано с переносом субстанции – импульса (количества движения), теплоты и массы (вещества).

Балансовые уравнения математически выражают законы сохранения субстанции.

Цель составления баланса:

1. нахождение связи между элементами баланса;

2. определение неизвестного элемента баланса;

3. проверка сходимости баланса.

Для составления баланса необходимо 1)выделить пространственный контур (контрольный объем); 2) установить временной интервал.

Пространственный контур может охватывать несколько аппаратов, один аппарат, часть аппарата или бесконечно малый объем аппарата.

В качестве временного интервала для периодических процессов обычно выбирают бесконечно малый промежуток времени , а для стационарных (непрерывных) процессов - единицу времени, например, 1сек.

Материальный баланс может быть частный (для одного компонента) и общий (для всех веществ в потоке).

Пусть Пр – приход субстанции в контур; У_Х- уход субстанции из контура; Ис Ст – источники и стоки субстанции внутри контура; Нак и Рез – накопление субстанции в контуре за данный временной интервал или результат процесса. Например, источником может быть образование вещества или выделение теплоты смешения внутри контура, а стоком – исчезновение (полное или частичное) вещества или поглощение теплоты при смешении компонентов.

Источники и стоки отмечены на схеме крестиками или точками в маленьких кружочках.

Накопление – это разность между конечным и начальным количеством субстанции. Пусть масса субстанции М. В стационарном процессе Нак=М_К-М_Н=0, т.е. накопление субстанции внутри контура К не происходит. В периодическом процессе для элементарного промежутка времени _: Нак= .

Баланс импульса обычно сводится к балансу к балансу взаимодействующих сил. При этом внешние массовые силы (например, силу гравитации) относят к источникам или стокам импульса внутри контура. В этом случае применяют термин Результат (Рез) – изменение ситуации под действием равнодействующей всех сил, а не Накопление (Нак).

Запишем основное балансовое соотношение (ОБС):

ΣПр-ΣУх+ΣИс-ΣСт = Нак (Рез)

Для стационарного непрерывного процесса при отсутствии Источников и Стоков ОБС упрощается:

ΣПр = ΣУх

Аналогия процессов переноса субстанции

А) Законы молекулярного переноса

Различают два типа механизма переноса субстанции через поверхность S:

1 молекулярный – за счет хаотического теплового движения молекул;

2)конвективный (макроскопический) – макрообъемами системы (струйками).

В ламинарном потоке и неподвижной среде определяющую роль играет молекулярный перенос. Последний обусловлен стремлением системы к термодинамическому равновесию, т.е. к усреднению потенциала в данном объеме.

При переносе импульса потенциалом переноса может служить скорость ω или импульс единицы объема жидкости: [ω·ρ]=[кг·м/м³·с].

При переносе теплоты – температура или энтальпия единицы объема жидкости: [c_p·ρ·t]=[Дж/м³], где c_p – удельная массовая теплоемкость при постоянном давлении [c_p]= [Дж/кг·К].

Изоповерхность – поверхность с постоянным значением потенциала переноса, например, изотермическая поверхность.

Удельный поток субстанции q (приходящий на 1 м² изоповерхности в 1с и нормальный к этой поверхности) пропорционален градиенту потенциала переноса.

Градиент потенциала – рост потенциала на единицу длины по нормали к изоповерхности.

- градиент температуры; q – удельный тепловой поток [q]= [Дж/с ·м²].

Молекулярный перенос импульса описывается законом внутреннего трения Ньютона:

(А)

Направления потока импульса и градиента локальной скорости противоположны, поэтому в (А) знак «-».

Физический смысл μ: сила, действующая между двумя параллельными площадками в 1 м² в жидкости, расстояние между которыми 1м, а разность скоростей площадок 1м/с.

Продольное касательное напряжение внутреннего трения τ_Т имеет размерность Н/м², т.е. Па.

Уравнение (А) можно записать ωρ:

(В)

[ν]= [м²/с].

Молекулярный перенос теплоты подчиняется закону Фурье:

(С)

[q_Mt]= [Вт/м²].

Физический смысл коэффициента теплопроводности λ: количество теплоты, проходящей в 1с. Между двумя площадками в 1м² при расстоянии между ними в 1м и разности температур в 1 градус, т.е. при единичном градиенте температуры; [λ]= [Вт/м·К].

Уравнение (С) можно записать через (энтальпию единицы объема жидкости):

(Д),

где - коэффициент температуропроводности, м²/с.

Молекулярный перенос вещества можно выразить первым законом Фика

(Е), где D – коэффициент молекулярной диффузии; [D]= [м²/с].

Физический смысл D: количество распределяемого компонента, которое переносится в 1с между двумя параллельными площадками в 1м² при расстоянии между ними в 1м и при единичной разности концентрации.

Как видно, приведенные законы молекулярного переноса описываются аналогичными уравнениями.

Для газов эта аналогия очень близка, т.к. ν≈a≈D, для капельных жидкостей аналогия имеет ограниченный характер.

Б) Дифференциальные уравнения переноса субстанции в движущейся жидкости (Навье-Стока, Фурье-Кирхгофа и Фика).

Запишем уравнение переноса импульса для несжимаемой вязкой (идеальной) жидкости объемом для оси z:

- уравнение Навье-Стока для нестационарного потока, где

- сила инерции;

- сила тяжести;

- сила давления;

- сила внутреннего трения;

- проекции скорости на оси координат.

С одной стороны, уравнение (А) можно трактовать как баланс сил, действующих на элементарный движущийся объем жидкости.

С другой стороны, уравнение (А) – это ОБС.

- локальное накопление ( в данной точке) импульса во времени;

- накопление импульса за счет конвекции, т.е. при перемещении объема ;

- источник (или сток) импульса в контуре за счет силы гравитации;

- накопление импульса за счет силы давления;

- накопление импульса за счет силы внутреннего трения;

- оператор Лапласа (лапласиан), т.е. сумма вторых производных по координатным осям.

Запишем уравнение переноса теплоты в движущейся жидкости ( , среда – однофазная, неразрывная, изотропная):

- уравнение Фурье-Кирхгофа для нестационарного потока

соответствует локальному накоплению теплоты во времени средой объемом за счет изменения температуры в данной точке;

отвечает накоплению теплоты за счет конвекции;

выражает перенос теплоты кондукцией (теплопроводностью).

характеризует теплопоглощение (тепловыделение) внутри контура ;

- источник (или сток) теплоты в единице объема и в единицу времени [Дж/м³·с].

Запишем уравнение переноса вещества (массы) в движущейся жидкости (D=const, среда однофазная, изотропная, неразрывная):

- уравнение Фика для нестационарного потока

с – концентрация вещества [с]= [кмоль/м³];

соответствует локальному накоплению вещества во времени за счет изменения его концентрации в данной точке;

отвечает накоплению вещества за счет конвекции;

характеризует молекулярный перенос компонента;

выражает возникновение (исчезновение) вещества в объеме в результате химического превращения.