3.1 Признаки сходимости несобственных интегралов
Ниже будут сформулированы признаки сходимости и расходимости только для несобственных интегралов второго рода, так как эти признаки аналогичны и для несобственных интегралов первого рода.
Признак сравнения. Пусть
и
– непрерывные функции, связанные
неравенством
.
Тогда относительно несобственных
интегралов
(9)
и
(10)
можно утверждать следующее:
1) если сходится интеграл (10), то сходится и интеграл (9);
2) если расходится интеграл (9), то расходится и интеграл (10).
Пример.
Исследовать на сходимость интеграл .
Решение.
Известно, что
,
т.к.
(для всех
).
А интеграл
сходится. Значит, сходится и интеграл
.
Мы не рассмотрели интервал
,
но на этом интервале функция
не имеет особенностей, поэтому поведение
функции на этом интервале не влияет на
сходимость интеграла.
Предельный признак сравнения. Пусть
и
– непрерывные функции, и существует
конечный предел
,
т.е.
и
– эквивалентные функции (при этом пишут
).
Тогда несобственные интегралы
и
с особенностью в точке с:
,
сходятся или расходятся одновременно.
Пример.
Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение.
Покажем, что
.
Действительно
Поскольку интеграл расходится, то расходится и исходный интеграл.
Абсолютная сходимость. Если сходится
интеграл
,
то сходится и
.
Последний интеграл называется в этом
случае абсолютно сходящимся.
Пример.
Исследовать на сходимость
.
Решение.
Рассмотрим интеграл
.
Поскольку
то справедливо неравенство
.
Т.к.
сходится, то абсолютно сходится и
исходный интеграл, а значит, он сходится
в обычном смысле.
Задачи.
Исследовать на сходимость следующие несобственные интегралы:
9.69.
; 9.70.
;
9.71.
; 9.72.
;
9.73.
; 9.74.
;
9.75.
; 9.76.
;
9.77.
; 9.78.
;
9.79.
; 9.80.
.
4. Геометрические приложения определенных интегралов
4.1. Вычисление площадей плоских фигур
Для вычисления площади фигуры, ограниченной
кривыми
и
(при условии
)
и прямыми
и
применяется формула:
.
Пример.
Вычислить площадь, ограниченную кривыми
(рис.20).
Решение.
Д
ля
расстановки пределов интегрирования
необходимо найти координаты точки А
пересечения кривых
и
.
Для этого надо решить уравнение
т.
.
Тогда
.
4.2. Вычисление длины дуги кривой
Если на отрезке
функция
и ее производная
– непрерывны, то длина дуги кривой
равна
Пример.
Вычислить длину дуги параболы
от начала координат до т.
(рис.21).
Решение.
Находим длину кривой ОВ:
4.3. Вычисление объемов тел вращения
Объем тела, образованного вращением
криволинейной трапеции, ограниченной
кривой
осью
и прямыми
и
вокруг осей
и
выражается соответственно формулами:
и 
.
Пример.
Найти объемы тел, образованных вращением
вокруг осей
и
той части параболы
которая отсекается прямой
(рис.22).
Решение.
,
.
4.4. Вычисление площади поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги гладкой кривой, вычисляется по формуле
.
Пример.
Найти площадь поверхности «веретена»,
которое получается в результате вращения
одной полуволны синусоиды
вокруг оси
(рис.23).
Решение.
Задачи.
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
9.81.
;
9.82.
;
9.83.
;
9.84.
.
Вычислить длины дуг кривых:
9.85.
;
9.86.
;
9.87.
между точками пересечения с осью Ох;
9.88.
.
9.89. Найти объем шара радиуса R.
9.90. Найти объем конуса с радиусом основания R и высотой H.
9.91. Найти объемы тел, образованных
вращением вокруг осей Ox
и Oy
фигур, ограниченных линиями
и
.
9.92. Найти объемы тел, образованных
вращением вокруг осей Ox
и Oy
фигур, ограниченных линиями
.
9.93. Найти площадь поверхности шара радиуса R.
9.94. Найти площадь поверхности цилиндра с радиусом основания R и высотой H.
9.95. Найти площадь поверхности конуса с радиусом основания R и высотой H.
9.96. Кривая
вращается вокруг оси Ох,
.
Найти площадь поверхности вращения.
9.97. Кривая
вращается вокруг оси Ох,
.
Найти площадь поверхности вращения.