Методы вычисления определенного интеграла
2.1. Замена переменной. Если в
определенном интеграле
мы переходим к новой переменной t
по формуле
то справедливо следующее равенство
. (4)
здесь
и
– новые пределы интегрирования, которые
находятся из условий:
Нахождение новых пределов – одна из особенностей применения формулы замены переменной в определенном интеграле (4). Другой особенностью является то, что в определенном интеграле в отличие от неопределенного не нужно переходить потом к старой переменной.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Введем замену переменных:
Тогда
Задачи.
Применяя указанные подстановки, вычислить определенные интегралы:
9.31.
9.32.
9.33.
9.34.
;
9.35.
;
9.36.
;
9.37.
;
9.38.
.
Применяя подходящие подстановки, вычислить определенные интегралы:
9.39.
; 9.40.
;
9.41.
; 9.42.
;
9.43.
; 9.44.
Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла выглядит так:
.
Особенностью применения этой формулы
в определенном интеграле является то,
что в произведение функции
сразу же следует подставлять пределы:
.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Задачи.
Вычислить определенные интегралы, используя метод интегрирования по частям:
9.45.
; 9.46.
;
9.47.
; 9.48.
;
9.49.
; 9.50.
;
9.51.
; 9.52.
;
9.53.
; 9.54.
;
9.55.
; 9.56.
.
3. Несобственные интегралы первого и второго рода
Пусть
– функция, интегрируемая на любом
отрезке
где
– фиксированное число, а
– произвольное. Обозначим
– интеграл с переменным верхним
пределом. Рассмотрим предел:
. (5)
Если этот предел существует, он называется
несобственным интегралом первого
рода функции
в пределах от
до
и обозначается символом
. (6)
При этом говорят, что несобственный интеграл (6) сходится и его значение равно значению предела (5). Если же предел (5) не существует или равен бесконечности, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Пример.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
.
Решение.
.
Задачи.
Вычислить следующие несобственные интегралы первого рода или установить их расходимость:
9.57.
; 9.58.
;
9.59.
; 9.60.
;
9.61.
; 9.62.
.
Пусть функция
определена во всех точках интервала
кроме точки
,
– особая точка. Тогда рассматриваются
пределы
и
. (7)
Если пределы (7) существуют и конечны, то сумма этих пределов называется несобственным интегралом второго рода. Если же хотя бы один из пределов (7) не существует или равен бесконечности, то говорят, что – расходится.
Пример.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
.
Решение.
Подынтегральная функция имеет разрыв
в точке
,
поэтому
Задачи.
Вычислить следующие несобственные интегралы второго рода или установить их расходимость:
9.63.
; 9.64.
;
9.65.
; 9.66.
;
9.67.
; 9.68.
.
Иногда вычисление несобственного
интеграла связано с большими трудностями
или вообще невозможно (как, например,
).
Тем не менее, нам бывает важно знать,
сходится данный интеграл или расходится.
Таким образом, возникает задача об
исследовании несобственного интеграла
на сходимость.