Глава iх Определенный интеграл

1. Определенный интеграл и его свойства

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем этот отрезок на n частей произвольными точками (рис.19).

Б

удем говорить, что этим произведено разбиение R отрезка . На каждом отрезке выберем произвольную точку и составим сумму

(1)

где – длина частичного отрезка. Сумма (1) называется интегральной суммой функции соответствующей разбиению R. Геометрически каждое слагаемое представляет собой площадь прямоугольника со сторонами и а вся сумма (1) – есть сумма площадей таких прямоугольников. Эта сумма с некоторой погрешностью выражает площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции снизу – осью абсцисс, а справа и слева прямыми . Эта погрешность будет тем меньше, чем “мельче” разбиение R. Если устремить к 0, то интегральная сумма (1) дает «в пределе» указанную площадь. Этот предел и будет называться определенным интегралом. Т.е.

, (2)

если:

1) этот предел существует,

2. не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные участки,

3. не зависит от выбора точки на каждом участке.

Число a называется нижним пределом интеграла, а число b – верхним его пределом. Функция , для которой существует определенный интеграл (2) называется интегрируемой на отрезке

Свойства определенного интеграла

1)

2) ;

2. Если то

в частности, если то ;

2. Если то ;

3. Если – непрерывна на , то найдется такая точка что ;

4. ;

5. .

Между определенными и неопределенными интегралами существует тесная связь, и эта связь выражается формулой Ньютона – Лейбница

(3)

где – некоторая первообразная функции . Таким образом, для того, чтобы вычислить определенный интеграл, нужно сначала вычислить неопределенный интеграл, т.е. найти некоторую первообразную функции а затем воспользоваться формулой (3). Заметим, что при подстановке пределов интегрирования в первообразную, часто пользуются обозначением

.

Пример.

Вычислить определенный интеграл .

Решение.

.

Задачи.

Применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить интегралы:

9.1. ; 9.2. ;

9.3. ; 9.4. ;

9.5. ; 9.6. ;

9.7. ; 9.8. ;

9.9. ; 9.10. ;

9.11. ; 9.12. ;

9.13. ; 9.14. ;

9.15. ; 9.16. ;

9.17. ; 9.18. .

При вычислении определенных интегралов полезно обращать внимание на четность интегрируемых функций.

Если функция – нечетна, то интеграл от нее в симметричных пределах равен 0.

Пример.

Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Так как – нечетная функция, то

.

Если подынтегральная функция является четной, то справедливо равенство:

.

Пример.

Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Задачи.

Используя четность или нечетность подынтегральной функции, вычислить следующие интегралы:

9.19. ; 9.20. ;

9.21. ; 9.22. ;

9.23. ; 9.24. .

При вычислении интегралов от периодических функций, важно помнить, что интеграл от и по полному периоду равен нулю, т.е.

где b – произвольное число. Промежуток интегрирования имеет длину равную периоду функции Аналогично для

Пример.

Вычислить интеграл .

Решение.

Задачи.

Вычислить следующие интегралы, используя периодичность подынтегральных функций:

9.25. ; 9.26. ;

9.27. ; 9.28. ;

9.29. ; 9.30. .