5.6. Представление чисел

Цифровые схемы способны обрабатывать только двоичные данные, поэтому приходится переводить числа из привычной десятичной системы счисления в двоичную, чтобы иметь возможность представлять числа посредством логических переменных, сами числа должны отображаться в виде последовательности двоичных чисел, то есть способных принимать только два значения. Двоичную цифру называют битом. Существует особая двоичная форма представления чисел с помощью двоичных знаков (двоичная система счисления), в которой разряды числа упорядочены по возрастающей степени числа 2. При этом цифра 1 отождествляется с логической единицей, а цифра 0 – с логическим нулем. Будем обозначать строчными буквами логическую переменную, характеризующую отдельное знакоместо в числе, а прописными буквами – все число. Тогда для представления числа из N разрядов в двоичном виде можно записать:

Разумеется, следует всегда четко разграничивать вычислительные операции с числами и составление функций из логических переменных. Еще раз поясним это различие на примере. Рассчитаем выражение 1 + 1. Полагая, что знак (+) обозначает сложение в десятичной системе счисления, получим соотношение:

1 + 1 = 2.

Сложение в двоичной системе дает

1 + 1 = 10₂ (читается: единица–нуль).

Если полагать, что знак (+) означает дизъюнкцию логических переменных, находим:

1 + 1 = 1.

5.6.1. Положительные целые числа в двоичном коде

Самым простым средством представления двоичных чисел служит двоичный код.

Разряды упорядочены по возрастанию степени числа 2.

В соответствии с десятичной системой просто записывают последовательность цифр

{z_N–1…z₀} и мысленно складывают соответствующие степени числа 2.

Пример.

5.6.2. Восьмеричный код

Очевидно, двоичный код воспринимается с трудом. Поэтому пользуются сокращенной формой записи, при которой каждые три разряда двоичного кода сводятся к одной цифре, а значение такого 3-разрядного двоичного числа записывается в десятичном виде. Поскольку соответствующие числа упорядочены по возрастанию степеней 2³ = 8, такой код называют восьмеричным.

Пример.

5.6.3. Шестнадцатеричный код

Еще один распространенный способ сокращенной записи состоит в том, чтобы сводить к одному числу по четыре двоичных разряда. В таком случае возникающие числа упорядочиваются по возрастанию степени числа 2⁴ = 16, в силу чего код получил название шестнадцатеричного. В каждом разряде числа могут принимать значения от 0 до 15, но для этого десятичных цифр уже недостаточно, и потому цифры от 10 до 15 отображаются символами от A до F.

Пример.

5.7. Целые двоичные числа с произвольным знаком

Отрицательное число характеризуется тем, что перед старшим разрядом ставится бит знака s.

5.7.1. Представление с поразрядным дополнением до двух

Представление с помощью знака и модуля затрудняет сложение положительных и отрицательных чисел. При появлении знака «минус» сумматор должен переключаться в режим вычитания. Представление с поразрядным дополнением до двух (обычно кратко называемое дополнительным кодом) избавляет от этой необходимости.

При таком способе старшему разряду присваивается отрицательный вес, а остальная часть числа отображается в обычном двоичном виде. В описанном случае длина слова также должна быть фиксированной ради однозначности определения старшего разряда. Если число положительное, старший бит равен 0. У отрицательного числа старший бит равен 1, поскольку только данный разряд имеет отрицательный вес.

Пример.

Для слова длинной 8 бит:

Переход от положительного числа к отрицательному, равному ему по модулю, несколько затруднен по сравнению с представлением через знак и модуль. Пусть двоичное число B_N без знакового бита характеризуется словом длиной N. Тогда знаковый разряд имеет значение –2^N. Поэтому число –B_N принимает вид

–B_N = –2^N + X.

Тогда положительный остаток X составит:

X = 2^N – B_N.

Это выражение называется поразрядным дополнением до двух (дополнительным кодом) B_N⁽²⁾ для B_N и легко рассчитывается по B^N. Рассмотрим наибольшее число, представимое с помощью N двоичных разрядов. Его значение равно

Если из указанного числа вычесть произвольное двоичное число B_N, получим, очевидно, двоичное число как результат поразрядного вычитания, называемое поразрядным дополнением до единицы (обратным кодом) B_N⁽¹⁾ для B_N. Тогда

и B_N⁽²⁾ = B_N⁽¹⁾ +1.

Таким образом, поразрядное дополнение двоичного числа до двух (дополнительный код) получается путем дополнения до единицы во всех разрядах и добавления единицы к образовавшемуся числу.

Легко показать, что для смены знака нужно не манипулировать знаковым разрядом в отдельности, а просто сформировать дополнение до двух целого числа вместе со знаковым разрядом. Следовательно, для двоичных чисел в дополнительном коде имеет место соотношение

-B_N = B_N⁽²⁾.

Оно справедливо для случая, когда в полученном результате рассматриваются

только N разрядов, а разряды переполнения игнорируются.

Пример.

Для 8-­разрядного двоичного числа в дополнительном коде:

5.7.2. Расширение знакового разряда

Если требуется представить положительное число в виде слова с большим числом

разрядов, старшие разряды просто заполняют нулями. Для чисел в дополнительном коде действует иное правило: слово дополняется соответствующим количеством знаковых разрядов.

Пример.