Свойства частиц и взаимодействий

Ядерные реакции

1.Перечислить несколько ядерных реакций, в которых может образоваться изотоп ⁸Be.

Используя закон сохранения заряда и закон сохранения числа нуклонов, получим

1. + 8Be + ,	5. + 10Be 8Be + d,
2. d + 6Li 8Be + ,	6. p + 10B 8Be + 3He,
3. p + 7Li 8Be + ,	7. p + 11B 8Be + ,
4. + 9Be 8Be + n,	8. p + 10B 8Be +  .

2.Какую минимальную кинетическую энергию в лабораторной системе T_min должен иметь нейтрон, чтобы стала возможной реакция ¹⁶O(n, )¹³C?

Минимальная энергия, при которой возможна реакция, равна порогу реакции. Вычислим энергию реакции:

Q = 8.071 - 4.737 - 2.424 -3.125 = -2.215 МэВ

Для вычисления пороговой энергии T_пор используем нерелятивистское приближение (2.14a):

T_min = T_пор = 2.215(1 + 1/17) = 2.35 МэВ.

3. Является ли реакция ⁶Li(d, )⁴He эндотермической или экзотермической? Даны удельные энергии связи ядер в МэВ: (d) = 1.11; ( ) = 7.08; (⁶Li) = 5.33.

Используя (1.5-1.6) и (2.2), вычислим величину энергии реакции:

= =

= 247.08 - 65.33 -21.11 = 22.44 МэВ.

Реакция является эндотермической.

4. Определить пороги T_пор реакций фоторасщепления ¹²С.

1. + ¹²С ¹¹С + n

2. + ¹²С  ¹¹В + р

3. + ¹⁴С  ¹²С + n + n

Рассчитаем энергии реакций 1) - 3), используя табличные данные по избыткам масс атомов

1) Q = 0 - (8.071+10.650) = -18.721 МэВ 2) Q = 0 - (8.668 + 7.289) = -15.957 МэВ 3) Q = 3.02 - (0 + 28.071) = -13.122 МэВ Для пороговой энергии (2.14) можно записать: T_пор  Q так как для реакций 1) - 3) и

5. Определить пороги реакций: ⁷Li(p, )⁴He и ⁷Li(p, )⁸Be.

Рассчитаем энергии реакций:

1) ⁷Li(p, )⁴He   Q = +17.348 МэВ

2) ⁷Li(p, )⁸Be    Q = +17.26

Реакции 1) - 2) экзотермические, идут при любых энергиях протонов.

6. Энергия реакции: 13.136 -7.289 - 8.071 = -2.224 МэВ

Так как , используя выражение (2.14a), получим

E_min =T_пор = 2.224(1 + 0.5) = 3.34 МэВ.

7. Возможны ли реакции:

1. + ⁷Li ¹⁰B+n;

2. + ¹²C ¹⁴N + d

под действием -частиц с кинетической энергией T = 10 МэВ?

Пороги реакций:

1) + ⁷Li ¹⁰B + n Q = 2.424 + 14.907 - 12.05 - 8.071 = -2.79 МэВ T_пор = 2.79(1 + 4/7) = 4.38 МэВ Реакция возможна, т.к. T =10 МэВ > T_пор 2) + ¹²C ¹⁴N + d Q = 2.424 + 0 - 2.863 - 13.136 = -13.575 МэВ E_пор = 18.1 МэВ Реакция невозможна , т.к. T < T _пор.

8. Идентифицировать частицу X и рассчитать энергии реакции Q в следующих случаях:

1. 35Сl + X 32S + ;	4. 23Na + p 20Ne + X;
2. 10B + X 7Li + ;	5. 23Na + d 24Mg + X;
3. 7Li + X 7Be + n;	6. 23Na + d 24Na + X.

Для того чтобы идентифицировать частицу X, нужно использовать законы сохранения заряда и числа нуклонов.

1	35Cl	X	32S		Q = -29.013+7.289-(-26.016+2.424) =1.87 МэВ
Z	17	1	16	2	Реакция экзотермическая
A	35	1	32	4
		X =p
2	10B	X	7Li		Q = 12.05+8.071-(14.907+2.424) =2.79 МэВ
Z	5	0	3	2	Реакция экзотермическая
A	10	1	7	4
		X =n
3	7Li	X	7Be	n	Q = 14.907+7.29-(15.768+8.07) = -1.643 МэВ
Z	3	1	4	0	Реакция эндотермическая
A	7	1	7	1	(Tпор = 1.643(1+1/7) = 1.88 МэВ)
		X =p
4	23Na	p	20Ne	X	Q = -9.532+7.289-(-7.041+2.424) = 2.38 МэВ
Z	11	1	10	2	Реакция экзотермическая
A	23	1	20	4
				X =
5	23Na	d	24Mg	X	Q = -9.532+13.136-(-13.933+8.071) = 9.47 МэВ
Z	11	1	12	0	Реакция экзотермическая
A	23	2	24	1
				X = n
6	23Na	d	24Na	X	Q = -9.532+13.136-(-8.42+7.289) = 4.74 МэВ
Z	11	1	11	1	Реакция экзотермическая
A	23	2	24	1
				X = p

9. Какую минимальную энергию T_min должен иметь дейтрон, чтобы в результате неупругого рассеяния на ядре ¹⁰B возбудить состояние с энергией E_возб = 1.75 МэВ?

При неупругом рассеянии энергия реакции Q = - E_возб., а минимальная энергия дейтрона равняется порогу реакции: T_min = T_пор.

Воспользовавшись формулой для порога реакции (2.14a) (т.к. Q<<m_dc²) получим:

T_min E_возб(1+m₁/m₂) 1.75(1+2/10) = 2.1 МэВ.

10. Вычислить порог реакции: ¹⁴N + ¹⁷О + p, в двух случаях, если налетающей частицей является: 1) -частица, 2) ядро ¹⁴N. Энергия реакции Q = 1.18 МэВ. Объяснить результат.

Вычислим порог, воcпользовавшись выражением (2.14a): 1) T_пор = 1.18(1 + 4/14) = 1.52 МэВ. 2) T_пор = 1.18(1 + 14/4) = 5.31 МэВ, В первом случае на движение центра инерции " бесполезно" тратится (4/14)Q, во втором (14/4)Q, таким образом порог реакции во втором случае выше в 3.5 раза.

11. Рассчитать энергии и пороги следующих реакций:

1. d( p, )3He;	5. 32S( ,p )31P;
2. d( d,3He )n;	6. 32 ( ,n )31S;
3. 7Li( p,n )7Be;	7. 32S( , )28Si;
4. 3He( , )7Be;	8. 4He( ,p)7Li;

Для расчета энергии и порогов реакций воспользуемся формулами (2.2) и (2.14) и данными таблицы характеристик атомных ядер:

	Реакция	Q (МэВ)	Tпор (МэВ)
1	d(p, )3He	+5.494	реакция экзотермическая
2	d(d,3He)n	+3.27	реакция экзотермическая
3	7Li(p,n)7Be	-1.643	Tпор = 1.88 МэВ
4	3He( , )7Be	+1.587	реакция экзотермическая
5	32S( ,p)31P	-8.864	Tпор= Q0 (так как m1=0, Q0 << 1)
6	32S( ,n)31S	-15.042	Tпор = Q0
7	32S( , )28Si	-6.948	Tпор = Q0
8	4He( ,p)7Li	-17.34	Tпор 34.68 МэВ

12. Какие ядра могут образовываться в результате реакций под действием : 1) протонов с энергией 10 МэВ на мишени из ⁷Li; 2 )ядер ⁷Li с энергией 10 МэВ на водородной мишени?

Используя законы сохранения электрического заряда и числа нуклонов выпишем всевозможные реакции взаимодействия протонов с ядрами ⁷Li.

Воспользуемся формулами (2.2) и (2.14) и данными таблицы характеристик ядер. Пороги реакций под действием протонов обозначим Т_пор , под действием ядер ⁷Li - T^*_nop. Энергии и пороги реакций приведены в таблице:

	Реакция	Q(МэВ)	Tпор (МэВ)	T*пор(МэВ)
1	7Li+p 4He + 4He	17.348
2	7Li+p +8Be	17.255
3	7Li+p n+7Be	-1.643	1.88	13.14
4	7Li+p p+t+ 4He	-2.467	2.82	19.74
5	7Li+p n+3He+ 4He	-3.230	3.69		25.84
6	7Li+p 3He+ 5He	-4.125	4.71		33.00
7	7Li+p t+5Li	-4.434	5.07		35.47
8	7Li+p d+ 6Li	-5.025	5.74		40.2
9	7Li+p d+d+4He	-6.5	7.43		52
10	7Li+p p+n+ 6Li	-7.249	8.29		57.99
11	7Li+p n+p+d+4He	-8.724	9.97		69.79
12	7Li+p p+d+5He	-9.619	10.99		76.95

Под действием протонов с энергией 10 МэВ возможны реакции 1) - 11), то есть образуются ядра ¹H, ²H, ³H, ³He, ⁴He, ⁵Li, ⁶Li, ⁷Be, ⁸Be. Под действием ядер ⁷Li с энергией 10 МэВ возможны только реакции 1) - 2), то есть образуются только ядра ⁴He и ⁸Be.

13. Ядро ⁷LI захватывает медленный нейтрон и испускает -квант. Чему равна энергия -кванта?

Реакция

⁷Li(n, )⁸Li,   Q = 2.034 МэВ.

Так как

где p_я, - импульсы ядра и -кванта, E_я, - энергии ядра и -кванта, то

Энергия - -кванта:

E = Q - E_Li Q = 2.034 МэВ

14. Определить в лабораторной системе кинетическую энергию ядра ⁹Ве, образующегося при пороговом значении энергии нейтрона в реакции ¹²C(n, )⁹Be.

Если энергия налетающей частицы равна пороговой энергии, то энергии частиц-продуктов и соответственно их импульсы в с.ц.и. равны нулю. В лабораторной системе импульс ⁹Be равен импульсу переносного движения (см. (2.19))

.

Импульс переносного движения выразим через импульс нейтрона (см. (2.22))

.

Выразим в последнем выражении импульсы через энергии, а затем вместо энергии нейтрона подставим выражение для пороговой энергии, получим

Учитывая, что , окончательно получим

15. При облучении мишени из натурального бора наблюдалось появление радиоактивных изотопов с периодами полураспада 20.4 мин и 0.024 с. Какие образовались изотопы? Какие реакции привели к образованию этих изотопов?

Периоды полураспада 20.4 мин и 0.024 сек соответствуют ядрам ¹¹С, ¹²Ве. Чтобы они образовались под действием одних и тех же частиц пучка, этими частицами должны быть ядра трития или -частицы:

¹¹B(t,2p)¹³Be,        ¹¹B(t,3n)¹¹C,        ¹¹B(t,2n)¹¹C

или

¹¹B( ,2p)¹³Be,       ¹¹B( ,t)¹¹C .      

16. Мишень из натурального бора бомбардируется протонами. После окончания облучения детектор -частиц зарегистрировал активность 100 Бк. Через 40 мин активность образца снизилась до ~25 Бк. Каков источник активности? Какая ядерная реакция происходит?

Активность меняется со временем по закону .

Отсюда находим период полураспада

= 20 мин.

Такой период полураспада имеет ¹¹С, который образуется в реакции ¹¹B(p,n)¹¹C.

17. Воспользуемся формулой (2.30). Для упругого рассеяния

( Q = 0). Получим

где ,  - угол вылета ядра ¹²C. Из условия задачи = 180⁰. Окончательно имеем

18. Определить максимальную и минимальную энергии ядер ⁷Ве, образующихся в реакции ⁷Li(p,n)⁷Be (Q = -1,65 МэВ) под действием ускоренных протонов с энергией T_p = 5 МэВ.

Воспользуемся формулой (2.30)

Если второе слагаемое под корнем отрицательно, то диапазон углов ограничивается условием неотрицательности выражения под корнем, т.е.

Под корнем будет неотрицательная величина, когда cos 0.614, т.е. максимальный угол, под которым будут вылетать ядра ⁷Be ~52⁰. Кинетическая энергия ядер ⁷Be, вылетающих под этим углом

При углах вылета в диапазоне от 0⁰ до 52⁰ ядра ⁷Be могут иметь два значения энергии. Одно из них соответствует знаку "+" перед корнем, а другое знаку "-". Максимальное и минимальное значения кинетической энергии будет при 0⁰:

,

.

Подставляя численные значения, получим

, .

Когда ядро ⁷Be вылетает с максимальной энергией, угол вылета нейтрона 180⁰, при минимальной энергии ⁷Be, угол вылета нейтрона 0⁰.

19. -Частицы, вылетающие под углом _неупр = 30⁰ в результате реакции неупругого рассеяния с возбуждением состояния ядра ¹²C с энергией E_возб = 4.44 МэВ, имеют такую же энергию в л.с., что и упруго рассеянные на том же ядре -частицы под углом _упр = 45⁰. Определить энергию -частиц, падающих на мишень .

В случае упругого рассеяния энергия -частиц определяется соотношением:

,           (19.1)

а в случае неупругого:

,      (19.2)

где Q = E_возб.

Приравнивая (19.1) и (19.2), получаем:

Подставим числовые значения:

20. -Частицы с энергией T = 5 МэВ взаимодействуют с неподвижным ядром ⁷Li. Определить величины импульсов в с.ц.и., образующихся в результате реакции ⁷Li( ,n)¹⁰B нейтрона и ядра ¹⁰B p_Be.

Расчитаем энергию реакции:

Q = 2.424 МэВ + 14.907 МэВ - 8.071 МэВ - 12.050 МэВ = -2.79 МэВ.

Для вычисления кинетической энергии нейтрона и ядра ¹⁰B в с.ц.и. воспользуемся формулой (2.32):

Отсюда в с.ц.и.:

21. С помощью реакции ³²S( ,p)³⁵Cl исследуются низколежащие возбужденные состояния ³⁵Cl (1.219; 1.763; 2.646; 2.694; 3.003; 3.163 МэВ). Какие из этих состояний будут возбуждаться на пучке -частиц с энергией 5.0 МэВ? Определить энергии протонов, наблюдаемых в этой реакции под углами 0⁰ и 90⁰ при Е =5.0 МэВ.

Энергия реакции:

= 2.424 - 26.016 -7.289 + 29.013 = -1.868 МэВ.

Кинетическая энергия столкновения двух частиц в с.ц.и.:

.

Максимальная энергия возбуждения ядра:

Т.е. при энергии налетающих -частиц 5 МэВ могут возбуждаться только состояния с 1.219, 1.763. Энергии протонов, вылетающих под углами 0⁰ и 90⁰ в реакции определются соотношениями:

,

где энергия реакции Q = Q₀ - E_возб;

Q₁ = -3.09 МэВ, Q₂ = -3.63 МэВ.

Подставляя численные значения, получим

Аналогично для других случаев

Энергия возбуждения (МэВ)	Tp(00) (МэВ)	Tp(900) (МэВ)
1.219	1.62	1.3
1.763	1.03	0.78

22. Используя импульсную диаграмму получить связь между углами в л.с. и с.ц.и.

Построим импульсную диаграмму:

1. Отложим отрезок (AB) = p_a, где p_a - величина импульса налетающей частицы в л.с..

1. На отрезке (AB) отложим точку O, которая делит (AB) на отрезки пропорциональные массам продуктов реакции:

.

1. Из точки O деления импульса p_a проводим окружность с радиусом равным величине импульсов продуктов реакции в с.ц.и. .

2. Из точки A проводим прямую до пересечения с окружностью. Отрезок (AC) равен импульсу вылетающей частицы b в л.с., а угол - углу вылета этой частицы в л.с., угол - углу вылета частицы b в с.ц.и..

3. Из точки С опустим перпендикуляр (CD) на прямую (AB), тогда можно записать:

,

, . Комбинируя эти три уравнения, получим

где (см. (2.28))

Окончательно получим

где

.

 

23. Протон с кинетической энергией Т_a= 5 МэВ налетает на ядро ¹Н и упруго рассеивается на нем. Определить энергию T_B и угол рассеяния _B ядра отдачи ¹Н, если угол рассеяния протона _b = 30⁰.

Для упругого рассеяния

T_a = T_b + T_B,

где T_a, T_b, и T_B - кинетические энергии налетающего протона, рассеянного протона и ядра водорода после рассеяния в л.с.. Из (2.30) имеем

,

.

В итоге получим

МэВ,

.

24.Для получения нейтронов широко используется реакция t(d,n) . Определить энергию нейтронов T_n, вылетающих под углом 90⁰ в нейтронном генераторе, использующем дейтроны, ускоренные до энергии Т_d = 0.2 МэВ.

Определим энергию реакции:

Q = 13.136 + 14.950 - 2.424 - 8.071 = 17.591 МэВ.

Используем соотношение (2.30) получим

.

25.Для получения нейтронов используется реакция ⁷Li(p,n)⁷Be. Энергия протонов T_p = 5 МэВ. Для эксперимента необходимы нейтроны с энергией T_n = 1.75 МэВ. Под каким углом _n относительно направления протонного пучка будут вылетать нейтроны с такой энергией? Какой будет разброс энергий нейтронов T, если их выделять с помощью коллиматора размером 1 см, расположенного на расстоянии 10 см от мишени.

Расчитаем энергию реакции Q = 14.907 + 7.289 - 8.071 - 15.768 = -1.643 МэВ Используя (2.31), получим

Диапазон углов, вырезаемых коллиматором Используя (2.30), получим

26. Определить орбитальный момент трития l_t, образующегося в реакции ²⁷Al( ,t)²⁸Si, если орбитальный момент налетающей -частицы = 0.

	+ 27Al	=  t	+ 28Si
JP: 0+	5/2+	1/2+	0+

Момент количества движения во входном канале

Из закона сохранения момента количества движения следует:

Откуда 3, 2.

Четности во входном и выходном каналах

;

,

Из закона сохранения четности:

Орбитальный момент трития l_t должен быть четным числом, т.е. l_t = 2.

27.При каких относительных орбитальных моментах количества движения протона возможна ядерная реакция p + ⁷Li ⁸Be^* + ?

p	+7Li	8Be*		+
JP: 1/2+	3/2-		0+	0+

Четность в конечном состоянии

Волновая функция двух тождественных бозонов ( -частиц) при пространственном отражении не меняется, т.е. волновая функция должна быть симметрична относительно перестановки бозонов. Отсюда следует, что - четное число. Полный момент системы в конечном состоянии J_f = и, соответственно может принимать только четные значения. Следовательно, промежуточное ядро ⁸Be для того, чтобы развалится на две -частицы должно быть в состояниях с положительной четностью и четными значениями спина. Четность в начальном состоянии также должна быть положительной

Таким образом, чтобы выполнялся закон сохранения четности орбитальный момент налетающего протона должен быть нечетным числом (l_p= 1,3, ...).

28. С какими орбитальными моментами l_p могут вылетать протоны в реакции ¹²C( ,p )¹¹B, если: 1) конечное ядро образуется в основном состоянии, а поглотился Е2- фотон; 2) конечное ядро образуется в состоянии 1/2⁺, а поглотился М1- фотон; 3) конечное ядро образуется в основном состоянии, а поглотился Е1- фотон?

В основном состоянии J^P(¹²C) = 0⁺.

1) J^P(¹¹B) = 3/2^-.

Воспользуемся законом сохранения четности и момента количества движения. В начальном соcтоянии:

В конечном состоянии :

.

В соответствии с законом сохранения момента, орбитальный момент протона l_p может принимать значения 0,1,2,3,4. Из закона сохранения четности

следует, что четные значения l_p должны быть отброшены, т.е. протоны могут вылетать с орбитальными моментами l_p =1,3.

2) J^P(¹¹B) = 1/2⁺.

В соответствии с законом сохранения момента l_p может принимать значения 0, 1, 2. Из закона сохранения четности орбитальный момент протонов должен быть четным l_p =0, 2.

3) J^P(¹¹B) = 3/2^-.

Из допустимых законом сохранения момента значений 0, 1, 2 закон сохранения четности оставляет только четные значения l_p =0, 2.

30. В результате поглощения ядром ⁴Не -кванта вылетает нейтрон с орбитальным моментом l_n = 2. Определить мультипольность -кванта, если конечное ядро образуется в основном состоянии.

Реакция ⁸Be(p, )⁷Li.

В конечном состоянии

В начальном состоянии

Следовательно фотоны должны иметь положительную четность и мультипольности  1, 2, 3, т.е. это  М1, Е2 и М3-фотоны.

31. Ядро ⁸Ве поглощает -квант, в результате чего вылетает протон с орбитальным моментом l = 1. Определить мультипольность поглощенного -кванта, если конечное ядро образуется в основном состоянии?

В начальном состоянии

В конечном состоянии

Из закона сохранения момента следует, что возможные значения орбитального момента дейтрона l_d= 0 ,1 ,2 . Однако закон сохранения четности допускает только нечетные значения, т.е. l_d = 1.

33. Ядро ⁴⁰Cа поглощает Е1 -квант. Какие одночастичные переходы возможны?

Согласно одночастичной модели спин и четность основного состояния ядра - 0⁺. В ядре полностью заполненны оболочки , , . Оболочка вакантна. При поглощении Е1 фотона, по законам сохранения момента и четности квантовые характеристики ядра в возбужденном состоянии должны быть 1^-. Наиболее низколежащим состояниям, которые будут возбуждаться, будут соответствовать одночастичные переходы нуклонов из третьей оболочки в четвертую вакантную оболочку. При этом будут образовываться состояния типа частица - дырка 1p1h. Спин таких состояний

,

где и - полные моменты частицы и дырки соответственно. Этому условию соответствуют следующие переходы: 1d3/2 2p3/2, 1d3/2 1f5/2, 1d3/2 2p1/2, 2s1/2 2p3/2, 2s1/2 2p1/2, 1d5/2 1f7/2, 1d5/2 2p3/2, 1d5/2 1f5/2. При этом закон сохранения четности также выполняется, так как переходы происходят в состояния с противоположной четностью. При поглощении Е1-фотонов достаточно большой энергии возможно возбуждение и других частично-дырочных состояний. Например при переходе нуклонов из первой оболочки в четвертую, это переходы 1s1/2 2p3/2 и 1s1/2 2p1/2.

34. Ядро ¹²C поглощает Е1 -квант. Какие одночастичные переходы возможны ?

Основное состояние ядра ¹²C имеет спин и четность 0⁺, у него полностью заполнены первая оболочка и подоболочка 1p_3/2 второй оболочки, При поглощении Е1 фотонов возможны переходы нуклонов из второй оболочки на третью и из первой оболочки на вакантные состояния второй таких, чтобы суммарный момент частицы и дырки в образовавшемся состоянии типа частица - дырка был равен 1, при этом закон сохранения четности будет выполнен, так как четность состояний при переходе от первой ко второй и от второй к третьей оболочке меняется и четность таких состояний будет отрицательной. Это переходы 1s_1/2 2p_3/2, 1p_3/2 1d_5/2, 1p_3/2 2s_1/2, 1p_3/2 1d_3/2.

36. Вычислить сечение рассеяния -частицы с энергией 3 МэВ в кулоновском поле ядра ²³⁸U в интервале углов от 150⁰ до 170⁰.

Воспользуемся формулой Резерфорда для дифференциального сечения упругого рассеяния нерелятивистской заряженной частицы на угол в кулоновском поле ядра (3.6):

,

где T - кинетическая энергия налетающей частицы, z и Z - заряды налетающей частицы и ядра мишени соответственно. Сечение рассеяния -частицы в интервале углов ₁ - ₂:

фм² = 7.86 б.

37. Золотая пластинка толщиной d = 0.1 мм облучается пучком -частиц с интенсивностью N₀ = 10³ частиц/c. Кинетическая энергия -частиц T = 5 МэВ. Сколько -частиц на единицу телесного угла падает в секунду на детектор, расположенный под углом = 170⁰? Плотность золота = 19.3 г/см³.

Воспользуемся формулами (3.2) и (3.3):

(3.2)

. (3.3)

Рассеяние чисто резерфордовское, тогда дифференциальное сечения упругого рассеяния (3.6):

. (3.6)

Комбинируя (3.2), (3.3) и (3.6) получим для числа -частиц, попадающих в детектор за 1 секунду:

 

 

0.77 частиц/(рад с).

38. Коллимированный пучок -частиц с энергией T = 10 МэВ падает перпендикулярно на медную фольгу толщиной = 1 мг/см². Частицы, рассеянные под углом = 30, регистрируются детектором площадью S = 1см², расположенным на расстоянии l = 20 см от мишени. Какая доля от полного числа рассеянных -частиц будет зарегистрирована детектором?

Аналогично задаче 37

,

где ; =S/4l².

Тогда доля частиц, рассеянных под углом =30 ⁰:

39. При исследовании реакции ²⁷Al(p,d)²⁶Al под действием протонов с энергией T_p = 62 МэВ в спектре дейтронов, измеренном под углом _d = 90 с помощью детектора с телесным углом d = 2·10^-4 ср, наблюдались пики с энергиями T_d = 45,3; 44,32; 40.91 МэВ. При суммарном заряде протонов q = 2.19 мКл, упавших на мишень толщиной = 5 мг/см², количество отсчетов в этих пиках N составило 5180, 1100 и 4570 соответственно. Определить энергии уровней ядра ²⁶Al, возбуждение которых наблюдалось в этой реакции. Рассчитать дифференциальные сечения d /d этих процессов.

Энергия возбуждения ядра определяется соотношением

Е_b⁽ⁱ⁾=Q₀-Q_i,

где Q₀, Q_i - энергии реакций с образованием ядра в основном и возбужденном состояниях соответственно. Энергия реакции ²⁷Al (p, d)²⁶Al с образованием ²⁶Al в основном состоянии получим, используя данные по избыткам масс атомов

Q₀ = -17.197 + 7.289 -13.136 + 12.210 = -10.834 МэВ.

Энергию реакции, можно рассчитать с помощью соотношения (2.31):

.

Подставляя в него соответствующие величины получим для трех пиков соответственно

Q₁ = -10.83 МэВ, Q₂ = -11.87 МэВ и Q₃ = - 15.56 МэВ.

Таким образом первый пик соответствует образованию ядра ²⁶Al в основном состоянии (Q₁ = Q₀ ) , второй возбуждению состояния с энергией 1.05 МэВ, а третий 4.72 МэВ Количество частиц мишени на единицу площади:

Полное число упавших на мишень частиц

частиц

40. Интегральное сечение реакции ³²S( ,p)³¹P с образованием конечного ядра ³¹P в основном состоянии при энергии падающих -квантов, равной 18 МэВ, составляет 4 мб. Оценить величину интегрального сечения обратной реакции ³¹P(p, )³²S, отвечающей той же энергии возбуждения ядра ³²S, что и в реакции ³²S( ,p)³¹P. Учесть, что это возбуждение снимается за счет -перехода в основное состояние.

Воспользуемся принципом детального равновесия для реакции (3.8):

где , .

Энергии фотона E и вылетающего протона T_p связаны соотношением

,

где энергия реакции

Q = 26.016 + 24.441 7.289 = 8.864 МэВ,

T_p = 18-8.864 = 9.136 МэВ.

Частицы обладающие нулевой массой имеют не более двух ориентаций спина: параллельную и антипараллельную ее импульсу, безотносительно к величине спина. Поэтому соотно-шение детального баланса в этом случае имеет вид:

мб.

41. Рассчитать интенсивность пучка нейтронов J, которым облучали пластинку ⁵⁵Mn толщиной d=0.1 см в течении t_акт = 15 мин, если спустя t_охл = 150 мин после окончания облучения ее активность I составила 2100 Бк. Период полураспада ⁵⁶Mn 2.58 ч, сечение активации = 0.48 б, плотность вещества пластины = 7.42 г/см³.

Для активности пластины можно записать

,

где n - число ядер на единицу площади мишени

.

Отсюда

1.6210⁷ нейтр./с

42. Дифференциальное сечение реакции d /d под углом 90⁰ составляет 10 мб/ср. Рассчитать величину интегрального сечения, если угловая зависимость дифференциального сечения имеет вид 1+2sin.

Найдем константу a из условия a(1 + 2sin90⁰) = 10. a = 10/3 мб/ср. В результате получим

108 мб.

43. Рассеяние медленных (T_n 1 кэВ) нейтронов на ядре изотропно. Как можно объяснить этот факт?

Оценим высоту центробежного барьера тяжелого ядра ²³⁸U для нейтронов

Таким образом B_ц >1 кэВ при l 0, т.е. нейтроны с энергией 1 кэВ могут эффективно взаимодействовать с ядрами только при l = 0, при этом волновая функция относительного движения сферически симметрична, а угловое распределение изотропно в с.ц.и.

44. Определить энергию возбуждения составного ядра, образующегося при захвате -частицы с энергией T = 7 МэВ неподвижным ядром ¹⁰В.

При взаимодействии -частицы ядром ¹⁰В образуется составное ядро ¹⁴N. Напишем закон сохранения энергии в с.ц.и.

.

Откуда для E_возб получим

45. В сечении реакции ²⁷Аl ( ,р) ³⁰Si наблюдаются максимумы при энергиях -частиц T 3.95; 4.84 и 6.57 МэВ. Определить энергии возбуждения составного ядра, соответствующие максимумам в сечении.

В данной реакции образуется составное ядро ³¹P. По аналогии с задачей 44:

Подставляя значения энергий T, получим

Е_возб = 13.11; 13.88 и 15.39 МэВ.

46. С каким орбитальным моментом могут рассеиваться протоны с Т_р = 2 МэВ на ядре ¹¹²Sn?

Воспользуемся формулой (3.10):

.

Таким образом протоны с энергией 2 МэВ взаимодействуют с ядром ¹¹²Sn при l = 0 и l = 1.

47. Оценить сечение образования составного ядра при взаимодействии нейтронов с кинетической энергией T_n = 1 эВ с ядрами золота ¹⁹⁷Au.

При этой энергии с ядром эффективно будут взаимодействовать нейтроны только с l = 0. Воспользуемся формулой (3.20) для оценки сечения образования составного ядра:

48. Оценить сечение образования составного ядра при взаимодействии нейтронов с кинетической энергией T_n = 30 МэВ с ядрами золота ¹⁹⁷Au.

Для оценки сечения в этой области энергий можно воспользоваться формулой (3.18)

Оценим длину волны нейтрона

,

так как R>> , можно записать

49. Сравнить полные сечения реакции для -частиц с энергией 20 Мэв на ядрах ⁵⁶Fe и ¹⁹⁷Au.

В реакциях с заряженными частицами при относительно небольших энергиях основным фактором, определяющим величину сечения, является высота кулоновского барьера. Оценим высоту кулоновского барьера по формуле (3.11a)

МэВ, МэВ.

Энергия -частиц больше высоты кулоновского барьера на ядре ⁵⁶Fe и меньше высоты кулоновского барьера на ядре ¹⁹⁷Au. Следовательно полное сечение реакций на ядре ¹⁹⁷Au будет сильно подавлено и меньше, чем сечение реакции на ядре ⁵⁶Fe.

50. Оценить сечение реакции ⁶³Cu(p,n)⁶³Zn, если известны сечения реакций, идущих с образованием того же составного ядра с той же энергией возбуждения: ⁶⁰Ni( ,p)⁶³Zn - 0.7 б; ⁶³Cu(p,pn)⁶²Cu - 0.87 б; ⁶⁰Ni( ,pn)⁶²Cu - 0.97 б.

Все приведенные реакции идут через одно и то же составное ядро ⁶⁴Zn:

1. ⁶³Cu + p ⁶⁴Zn n + ⁶³Zn;

2. ⁶⁰Ni + ⁶⁴Zn p + ⁶³Zn;

3. ⁶³Cu + p ⁶⁴Zn p + n + ⁶²Cu;

4. ⁶⁰Ni + ⁶⁴Zn p + n + ⁶²Cu.

Для таких реакций справедливо соотношение (3.13)

,

где Г_n, Г_pn - ширины распада составного ядра с вылетом нейтрона и нейтрона + протона, Г - полная ширина распада. Отсюда получаем, что

,

0.63 б.

51. Оценить нейтронную ширину Г_n изолированного уровня 0⁺ ядра ¹⁰⁸Rh (энергия уровня E₀ =1.21 эВ, полная ширина Г = 0.21 эВ), если при резонансном поглощении нейтронов с образованием этого уровня составного ядра сечение поглощения для энергии нейтронов T_n = 1 эВ _ab = 2700 б. Спин ядра-мишени I(¹⁰⁷Rh) = 1/2.

Сечение резонансной реакции (n, ) (3.21)

Длина волны нейтрона

.

Полная ширина уровня

.

В итоге получим

52. Получить, исходя из модели оболочек, отношение сечений реакций подхвата ¹⁶O(p,d) ¹⁵O, с образованием конечного ядра ¹⁵O в основном состоянии (J^P =1/2^-) и в состоянии (J^P =3/2^-).

Особенностью реакций подхвата (p,d) является то, что в них возбуждаются состояния, соответствующие возбуждению "дырок" относительно основного состояния ядра-мишени. В реакции ¹⁶O(p,d) это состояния (1p_1/2)^-1 и (1p_3/2)^-1, глубокие дырочные состояния (1s_1/2)^-1 не возбуждаются, если энергия налетающей частицы не очень велика (взаимодействие поверхностное). Основному состоянию ядра ¹⁵O (J^P =1/2^-) соответствует нейтронная конфигурация

(1s_1/2)²(1p_3/2)⁴(1p_1/2)¹,

а состоянию с J^P =3/2^- - конфигурация

(1s_1/2)²(1p_3/2)³(1p_1/2)².

То есть в первом случае подхватывается нейтрон из состояния 1p_1/2, а во втором из 1p_3/2. Вероятности подхвата в первую очередь определяются числом нейтронов на соответствующих подоболочках. Таким образом сечение реакции с образованием ядра ¹⁵O в основном состоянии должно быть приблизительно вдвое меньше, чем сечение реакции с возбуждением состояния ядра 3/2^-.

53. Для реакции срыва ³⁵Cl(d,p)³⁶Cl найти возможные значения орбитального момента l_n захваченного ядром нейтрона. Указать, исходя из простейшей оболочечной модели, какое из значений l_n реализуется, если ядро ³⁶Cl образуется в основном состоянии.

Спины и четности ядер ³⁵Cl и ³⁶Cl 3/2⁺ и 2⁺ соответственно. Из закона сохранения количества движения следует, что

,

где J_i и J_f - спины ядер ³⁵Cl, и ³⁶Cl, соответственно, а J_n - полный момент нейтрона

|J_i -J_f| < J_n < J_i + J_f 1/2 < J_n < 7/2

или 0 < l_n < 4.

Из закона сохранения четности

, ,

где P_i, P_f, P_n - четности начального и конечного ядер и нейтрона, получаем, что l_n - четное число, l_n = 0, 2, 4. Ядро ³⁵Cl в оболочечной модели в основном состоянии имеет нейтронную конфигурацию

(1s_1/2)²(1p_3/2)⁴(1p_1/2)²(1d_5/2)⁶(2s_1/2)²(1d_3/2)².

Конечное ядро ³⁶Cl имеет еще один нейтрон в состоянии 1d_3/2 с орбитальным моментом 2. Это значение переданного момента нейтрона и реализуется в реакции ³⁵Cl(d,p)³⁶Cl с возбуждением основного состояния конечного ядра.

54. Оценить спин и четность состояния ядра ²⁴Mg с энергией 1.37 МэВ, если при возбуждении этого состоянии в реакции неупругого рассеяния -частиц с энергией T = 40 Мэв, первый максимум в угловом распределении -частиц наблюдается под углом 10⁰.

Воспользовавшись фомулой (3.23) получим,

Орбитальный момент может принимать только целочисленные значения, таким образом ближайшее значение l = 2. Спин и четность основного состояния ядра ²⁴Mg = 0⁺. Используя закон сохранения момента количества движения, получим

|J_i - l| < J_j < J_i + l ,

отсюда J_f = 2. Четность этого состояния, согласно закону сохранения четности должна быть положительной, таким образом квантовые характеристики состояния с энергией 1.37 МэВ 2⁺.

55. Найти угол , под которым должен быть максимум углового распределения протонов в реакции (d,p) на ядре ⁵⁸Ni, вызванной дейтронами с энергией T=15 МэВ, с образованием ядра ⁵⁹Ni в основном состоянии.

Спин и четность ядра ⁵⁸Ni = 0⁺. В данном случае пере-даваемый угловой момент l равен угловому моменту нейтрона, помещаемого в состояние 2p_3/2, l = 1. Используя формулу (3.22), получим

Свойства частиц и взаимодействий

1. ⁰-мезон, кинетическая энергия которого равна энергии покоя, распадается на два - кванта, энергии которых равны. Каков угол между направлениями движения -квантов?

Энергии -квантов в л.с. равны, если равны углы вылета -квантов относительно направления первоначального движения пиона. По условию задачи T = mc², где T - кинетическая энергия, m - масса пиона. Тогда для полной энергии E_i и импульса пиона можно записать

E_i = Т + mc² = 2T,

Из закона сохранения энергии = T. Закон сохранения импульса приводит к следующему соотношению

где - импульс одного -кванта. Откуда

2. Определить величину суммарной кинетической энергии p - мезонов , образующихся при распаде покоящегося K⁺ -мезона: K^{+  +} +  ⁺ +  ^-. Массы покоя частиц в энергетических единицах: = 493.646 МэВ, = 139.658 МэВ.

Полная энергия K⁺-мезона равна его энергии покоя = . Полная энергия трех пионов равна сумме их кинетических энергий и энергий покоя . Из закона сохранения энергии ,

= (493.646 МэВ – 3^x139.658 МэВ) = 74.672 МэВ.

3. Определить частицы X, образующиеся в реакциях сильного взаимодействия: 1)  ; 2)  ; 3)  .

Исходя из законов сохранения электрического заряда Q, барионного заряда B, странности S и проекции изоспина I₃ в этих реакциях определим характеристики частиц X:

1)
	Q:	-1 + 1  -1 + 1 + QX	QX = 0
	B:	0 + 1   0 + 1 + BX	BX = 0
	S:	0 + 0 -1 + 0 + SX	SX = 1
	I3:	- 1 + 1/2 -1/2 + 1/2 + (I3)X	(I3)X = -1/2

Этот набор квантовых чисел соответствует K⁰-мезону.

2)
	Q:	-1 + 1 -1 + 0 + QX	QX = 1
	B:	0 + 1   1 + 0 + BX	BX = 0
	S:	-1 + 0   -3 + 1 + SX	SX = 1
	I3:	-1/2 + 1/2  0 - 1/2 + (I3)X	(I3)X = 1/2

Этот набор квантовых чисел соответствует K⁺-мезону.

3)
	Q:	1 - 1  -1 + 1 + QX	QX = 0
	B:	1 -  1 1 + 0 + BX	BX = - 1
	S:	0 + 0  -2 + 0 + SX	SX = 2
	I3:	1/2 -  1/2 -1/2 + 1 + (I3)X	(I3)X = - 1/2

Этот набор квантовых чисел соответствует -гиперону.

4. Могут ли следующие реакции: 1) ; 2)  ; 3)  происходить в результате сильного взаимодействия.

Определим изменения электрического заряда Q, барионного заряда B, странности S и проекции изоспина I₃ в этих реакциях:

1)
	Q:	-1 + 1 -1 + 1 -1	Q = - 1
	B:	0 + 1  1 + 0 + 0	B = 0
	S:	0 + 0 -2 + 1 -  1	S = - 2
	I3:	- 1 + 1/2  -1/2 + 1/2 -1/2	I3 = 0

Реакция невозможна, так как не сохраняются электрический заряд и странность.

2)
	Q:	1 + 1 2 + 0	Q = 0
	B:	0 + 1  1 + 0	B = 0
	S:	0 + 0  0 + 0	S = 0
	I3:	1 + 1/2  3/2 + 0	I3 = 0

Реакция возможна, так как все законы сохранения выполнены.

3)
	Q:	1 + 0  1 + 0	Q = 0
	B:	0 + 1  1 + 0	B = 0
	S:	1 + 0   -1 + 0	S = - 2
	I3:	1/2 -1/2  1 + 0	I3 = 1

Реакция невозможна, так как не сохраняются странность и проекция изоспина.

5. Какие из приведенных ниже реакций под действием антинейтрино возможны, какие запрещены и почему: 1) ; 2) ; 3)  .

Реакции происходят в результате слабого взаимодействия. Определим изменения электрического заряда Q, барионного заряда B, лептонного электронного L_e и мюонного чисел в этих реакциях:

1)
	Q:	0 + 1  0 + 1	Q = 0
	B:	0 + 1 1 + 0	B = 0
	Le:	0 + 0   0 + 0	Le = 0
	:	-1 + 0   0 -1	= 0

Реакция возможна, так как все законы сохранения выполнены.

2)
	Q:	0 + 0 1 -1	Q = 0
	B:	0 + 1 1 + 0	B = 0
	Le:	-1 + 0 0 + 0	Le = 1
	:	0 + 0  0 + 1	= 1

Реакция невозможна, так как не сохраняются электронное и мюонное лептонные числа.

3)
	Q:	0 + 0 1 -1	Q = 0
	B:	0 + 1 1 + 0	B = 0
	Le:	0 + 0  0 + 0	Le = 0
	:	- 1 + 0   0 + 1	= 2

Реакция невозможна, так как не сохраняется мюонное лептонное число.

6. Построить из кварков следующие частицы: p, n, , ⁰, ⁰, ^-.

	u	u	d	p
Электрический заряд	+2/3	+2/3	-1/3	1
Странность	0	0	0	0

	u	d	d	n
Электрический заряд	+2/3	-1/3	-1/3	1
Странность	0	0	0	0

	u	d	s
Электрический заряд	+2/3	-1/3	-1/3	1
Странность	0	0	-1	-1

	u	d	s	0
Электрический заряд	+2/3	-1/3	-1/3	1
Странность	0	0	-1	-1

	u	s	s	0
Электрический заряд	+2/3	-1/3	-1/3	1
Странность	0	-1	-1	-2

	s	s	s	-
Электрический заряд	-1/3	-1/3	-1/3	1
Странность	-1	-1	-1	-2

7. Определить значения спинов, четностей и изоспинов основных состояний гиперядер и .

Гиперядро можно представить как ядро ⁴He (изоспин (⁴He) =  , спин и четность J^P(⁴He) = 0⁺) с добавлением  -гиперона в состоянии 1s_1/2. Спин и четность гиперона в этом состоянии J^P( ) = 1/2⁺, а изоспин -гиперона ( ) = .

Получаем, что изоспин гиперядра ( ) = (⁴He) + ( ) = + = , спин ( ) =  (⁴He) +  ( ) =  +   =  и его четность P( ) = P(⁴He) ^х P( ) = (+1) ^х (+1) = +1. Таким образом: J^P( ) = 1/2⁺, I( ) = 0.

Гиперядро также можно представить как ядро ⁴He, но уже с двумя -гиперонами в состоянии 1s_1/2. В этом случае гипероны полностью заполняют оболочку 1s_1/2, и, поэтому, их спин и четность будут J^P( ) = 0⁺.

Получаем, что изоспин гиперядра ( ) = (⁴He) + ( ) + ( ) = + + = , спин ( ) =  (⁴He) +  ( ) =   +  =  и его четность P( ) = P(⁴He) ^х P( ) = (+1) ^х (+1) = +1. То есть J^P = 0⁺, I ( ) = 0.

8. Нарисовать кварковые диаграммы взаимодействий p-p, n-n, p-n.

Взаимодействие p-p:	Взаимодействие n-n:
Взаимодействие p-n:

9. Показать, что без введения квантового числа "цвет", принимающего три значения, кварковая структура ⁺⁺, ^- , ^- противоречит принципу Паули.

Указанные частицы имеют кварковый состав ⁺⁺ - (uuu), ^- - (ddd), ^- - (sss). Эти частицы имеют J^P = 3/2⁺. Орбитальный момент относительного движения кварков в них равен нулю. Кварки являются фермионами и имеют спин . Для них возможны только две проекции s = 1/2 и s = - 1/2. Таким образом, для того, чтобы образовать состояние 3/2⁺, все три кварка, обладающие одним ароматом, должны иметь одинаковые проекции спинов. Согласно принципу Паули два фермиона не могут находиться в одном состоянии (иметь одинаковые квантовые числа). Чтобы удовлетворить принципу Паули, необходимо ввести для кварков квантовое число - "цвет". "Цвет" должен иметь три разные значения для трех кварков, у которых остальные квантовые числа совпадают. Квантовое число "цвет" имеет следующие значения - красный, синий, зеленый.

10. Проверить выполнение законов сохранения и построить кварковые диаграммы реакций, происходящих в результате сильного взаимодействия: 1)  2) 3) 

1)
	Q:	- 1 + 1   0 + 0	Q = 0
	B:	0 + 1   1 + 0	B = 0
	S:	0 + 0   - 1 + 1	S = 0
	I3:	- 1 + 1/2   0 -  1/2	I3 = 0

Законы сохранения выполнены.

2)
	Q:	1 -  1   1 -  1	Q = 0
	B:	1 -  1  - 1 + 1	B = 0
	S:	0 + 0   3 -  3	S = 0
	I3:	1/2 -  1/2   0 + 0	I3 = 0

Законы сохранения выполнены.

3)
	Q:	1 + 0   - 1 + 1 + 1	Q = 0
	B:	0 + 1   1 + 0 + 0	B = 0
	S:	0 + 0   - 2 + 1 + 1	S = 0
	I3:	1 -  1/2   - 1/2 + 1/2 + 1/2	I3 = 0

Законы сохранения выполнены.

11. Нарисовать основные диаграммы Фейнмана для следующих процессов: 1) рассеяние электрона на электроне; 2) эффект Комптона; 3) электрон-позитронная аннигиляция; 4) фотоэффект в кулоновском поле ядра; 5) образование электрон- позитронной пары в кулоновском поле ядра. Какие виртуальные частицы участвуют в этих процессах?

1) Рассеяние электрона на электроне. Виртуальная частица - фотон.

2) Эффект Комптона. Виртуальная частица - электрон.

3) Электрон-позитронная аннигиляция. Виртуальная частица - электрон или позитрон.

4) Фотоэффект в кулоновском поле ядра. Виртуальная частица - фотон.

5) Образование электрон-позитронной пары в кулоновском поле ядра. Виртуальная частица - фотон.

12. Оценить отношение сечений двух- и трехфотонной аннигиляции электрон-позитронной пары.

В квантовой электродинамике константа связи

 

Диаграмме с N узлами соответствует амплитуда процесса пропорциональная Сечение процесса с N узлами пропорционально .

В случае двухфотонной аннигиляции фейнмановская диаграмма имеет две вершины, поэтому сечение этого процесса можно оценить так -

В случае трехфотонной аннигиляции фейнмановская диаграмма имеет три вершины, и сечение этого процесса пропорционально

То есть отношение сечений

 

13. Какие из приведенных ниже слабых распадов адронов запрещены, а какие разрешены? 1) ; 2) ; 3) .

Нарисовать диаграммы разрешенных распадов.

Лептонные слабые распады адронов с изменением странности подчиняются следующим правилам: | S| = 1 и Q =  S, где Q и S - изменения электрического заряда и странности адронов.

Определим изменения электрического заряда адронов Q_адр и странности S в этих распадах:

1)
	Qадр:	0   - 1	Qадр = - 1
	S:	1   0	S = - 1

Распад разрешен Q =  S.

2)
	Qадр:	- 1   0	Qадр = 1
	S:	- 1   0	S = 1

Распад разрешен Q =  S.

3)
	Qадр:	0   - 1	Qадр = - 1
	S:	- 2   - 1	S = 1

Распад запрещен Q  S.

14. Нарисовать кварковые диаграммы распадов 1) , 2) , 3) , 4)  . Какие взаимодействия ответственны за эти распады?

1)

Этот распад происходит в результате электромагнитного взаимодействия.

2)

Этот распад происходит в результате электромагнитного взаимодействия.

3)

Этот распад происходит в результате электромагнитного взаимодействия.

Разница в диаграммах распадов 2) и 3) связана с различием зарядовой четности ⁰-мезона = +1 и ⁰- мезона = - 1. Так как зарядовая четность -кванта  = -1, то распад ⁰- мезона возможен только при участии двух - квантов - . Для ^{0 -}мезона распад возможен с участием только одного -кванта =   = -1.

4)

Этот распад происходит в результате сильного взаимодействия.

15. Какие из перечисленных ниже четырех способов распада K⁺-мезона возможны? Для разрешенных нарисовать диаграммы, для запрещенных указать причину запрета.

1) ;	3) ;
2) ;	4) ;

Определим изменения электрического заряда Q, странности S и проекции изоспина I₃ адронов и лептонного числа L_e:

1)
	Qадр:	1 1	Qадр = 0
	S:	1 0	S = -1
	I3:	½ 1	I3 = 1/2
	Le:	0  0 - 1 + 1	Le = 0

Распад запрещен, так как изменение странности адронов S = -1, а изменение их электрического заряда Q_адр = 0, то есть Q S.

2)
	Qадр:	1 0	Qадр = -1
	S:	1 0	S = -1
	I3:	½ 0	I3 = -1/2
	Le:	0 -1 + 1	Le = 0

Распад разрешен - выполнены все законы сохранения для слабого взаимодействия. Слабое взаимодействие допускает несохранение странности и изоспина. Диаграмма этого распада:

3)
	Qадр:	1 0	Qадр = -1
	S:	1 0	S = -1
	I3:	½ 0	I3 = -1/2
	Le:	0   0 - 1 - 1	Le = -2

Распад запрещен законом сохранения лептонного числа L_e.

4)
	Qадр:	1  1 + 0	Qадр = -1
	S:	1   0 + 0	S = -1
	I3:	½ 1 + 0	I3 = 1/2

Распад разрешен - выполнены все законы сохранения для слабого взаимодействия. Диаграмма этого распада:

16. Диаграммы показывают два варианта взаимодействия красного и зеленого кварков. Определить, за счет какого взаимодействия произошла реакция в каждом случае и что было виртуальной частицей.

    В первом случае при взаимодействии двух кварков их цвет не изменяется. Это возможно, либр в сильном взаимодействии при обмене глюоном со скрытым цветом (К , З , С ), либо в электрослабом взаимодействии, когда виртуальными частицами являются не имеющие цвета фотон и Z-бозон. Наиболее вероятен вариант сильного взаимодействия с обменом глюоном, имеющим скрытый цвет.     Во втором случае цвет кварков изменился. Это возможно, только если взаимодействие между кварками сильное, и, следовательно, виртуальной частицей является глюон.

17. Показать, что пространственная четность позитрония (e⁺e^- ) равна (-1)^L+1, где L - относительный орбитальный момент e⁺ и e^-.

Пространственная четность позитрония P_поз определяется как произведение внутренней четности электрона и позитрона на орбитальный множитель (-1)^L. Электрон и позитрон имеют значения спинов равные 1/2 и, следовательно, являются соответственно фермионом и антифермионом. Произведение внутренних четностей электрона и позитрона равна (-1), поскольку внутренняя четность фермиона противоположна внутренней четности антифермиона. Пространственная четность позитрония

P_поз = (-1)(-1)^L = (-1)^L+1.

18. Какие значения может иметь относительный орбитальный момент двух ⁰-мезонов, образующихся в реакции , если относительный орбитальный момент равен L?

Относительный орбитальный момент двух ⁰-мезонов l определим из законов сохранения момента количества движения и четности. Получаем соотношение

 

где - внутренние четности протона, антипротона и ⁰-мезона. Внутренние четности протона , антипротона и ⁰-мезона . Получаем, что (-1)(-1)^L = (-1)^l, то есть l = L + 1.

19. Как доказать несохранение четности в распаде ?

Спиральность частицы есть

,

где - спин частицы, а - ее импульс.     Состояние, при котором направления спина и импульса совпадают, соответствуют спиральности h = +1, а состояние с противоположно направленными спином и импульсом соответствует спиральности h = -1. Ультрарелятивистские фермионы, участвующие в любом слабом процессе, должны иметь значение спиральности h = -1 для частиц и h = +1 для античастиц.     Пион ⁺ имеет спин, равный 0. При распаде мюонное нейтрино как ультрарелятивистская частица будет обладать спиральностью h = -1. Соответственно, мюон, согласно законам сохранения импульса и момента импульса, также будет иметь спиральность равную h = -1. Хотя мюон и является античастицей, но в данном распаде его кинетическая энергия значительно меньше его массы покоя, так как , и, следовательно, мюон нельзя считать релятивистским. Такой мюон может иметь спиральность h = -1.

Применение к этому распаду операции пространственной инверсии приводит к тому, что нейтрино будет иметь спиральность h = +1, что невозможно для ультрарелятивистского фермиона. Отсутствие симметрии данного распада относительно пространственной инверсии указывает на несохранение пространственной четности в слабых взаимодействиях.

20. Возможен ли распад ⁰  _e + _e  для нейтрино с нулевой массой?

    Нейтрино всегда имеет отрицательную спиральность, а антинейтрино всегда имеет положительную спиральность.     Спин нейтрино равен 1/2, и направление его вектора противоположно направлению движения частицы. Спин антинейтрино также равен 1/2, но направление его вектора совпадает с направлением движения частицы.     При распаде, исходя из закона сохранения импульса, нейтрино должны разлетаться строго в противоположные стороны. Момент количества движения _e и _e . Однако, спин ⁰-мезона равен 0, то есть данный распад невозможен из-за нарушения закона сохранения момента количества движения

21. Почему распад сильно (в 10⁴ раз) подавлен по сравнению с распадом хотя энерговыделение в распаде во много раз больше, чем в распаде ?

    Ультрарелятивистские фермионы, участвующие в любом слабом процессе, должны иметь значение спиральности h = -1 для частиц и h = +1 для античастиц.     В указанных распадах нейтрино будут обладать спиральностью h = -1. Поэтому из закона сохранения момента импульса следует, что спин ⁺ должен быть направлен против его импульса. ⁺-мезон образовался в результате слабого взаимодействия, и, следовательно, он должен был бы иметь h( ⁺) = +1. И если бы его масса, как и нейтрино, была бы равна нулю, распад был бы запрещен. Но ⁺ имеет отличную от нуля массу. Поэтому он испускается в состоянии, которое является смесью состояний с "правильной" (h = +1) и "неправильной" (h = -1) спиральностями. Распад происходит благодаря примеси "неправильной" компоненты. Это позволяет объяснить подавление распада по сравнению с распадом в 10⁴ раз. В распаде доля состояний с "неправильной" спиральностью гораздо меньше, чем в распаде , так как m_e  .

22. Показать, что зарядовые четности мезонов _c(1S) и (1S) равны соответственно +1 и -1.

Зарядовая четность системы фермион-антифермион C = (-1)^L(-1)^J, где L - взаимный орбитальный момент, а J - полный момент (спин) системы. Мезоны _c(1S) и (1S) имеют одинаковый кварковый состав (c и кварки) с нулевым орбитальным моментом (состояние 1S), но спин _c(1S) равен 0, а спин (1S) равен 1. Поэтому , а .

23. Как меняются при операции обращения времени следующие величины: импульс, момент количества движения, энергия, векторный и скалярный потенциалы, напряженность электрического и магнитного поля?

Импульс и момент количества движения меняют свои направления на противоположные так как эти величины по определению содержат производные по времени (импульс , момент количества движения ). При обращении времени энергия не меняется. По определению

и

,

где и - скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля, - напряженность электрического поля и - напряженность магнитного поля. Уравнение движения заряда в электромагнитном поле будет

  .

Уравнения движения инвариантны по отношению к обращению времени, поэтому вместе с заменой t на -t надо изменить знак магнитного поля, то есть уравнение движения не меняется, если провести замену

t   -t, и  - .

При этом скалярный потенциал не меняется, а векторный меняет знак:

  и - .

Таким образом, обращение времени оставляет скалярный потенциал и напряженность электрического поля неизменными, а векторный потенциал и напряженность магнитного поля при этом меняют направление на противоположное.

24. Показать, что спиральность частицы h инвариантна по отношению к обращению времени.

Спиральность частицы h по определению

  ,

где - спин частицы, а - ее импульс. При обращении времени как импульс, так и спин (момент количества движения) меняют знаки. Следовательно, спиральность, являющаяся произведением этих величин, должна сохраняться.

25. ⁺-мезон распадается в состоянии покоя. Нарисовать импульсы и спины частиц, образующихся в результате распада ⁺-мезона . Совершить C-, P-, CP-, T- и CPT-преобразования этого распада.

    Импульсы и спины мюона и нейтрино в исходном распаде пиона будут выгдядеть следующим образом:

(*)

    C-преобразование меняет знаки зарядов. Импульс и момент импульса остаются неизменными. В результате C-преобразования процесс (*) имеет вид

C:

    В результате C-преобразования получается ненаблюдаемый в природе процесс - образование мюонного антинейтрино с отрицательной спиральностью.     P-преобразование меняет направление импульса, направление момента импульса не меняется. В результате P-преобразования процесс (*) имеет вид

P:

    В результате P-преобразования получается ненаблюдаемый в природе процесс - образование мюонного нейтрино с положительной спиральностью.     CP-преобразование меняет знаки зарядов и направление импульса, момент импульса не меняется. В результате CP-преобразования процесс (*) имеет вид

CP:

    Комбинация двух последовательных преобразований C и P приводит к распаду с положительной спиральностью мюонного антинейтрино - процессу, наблюдаемому в природе.     В результате T-преобразования происходит изменение знаков импульса , момента импульса и меняются местами начальное и конечное состояния

.

    В результате T-преобразования процесс (*) имеет вид

T:

    T-преобразование дает разрешенный распад.     CPT-преобразование меняет знаки зарядов, знак момента импульса, а также меняет местами начальное и конечное состояния. В результате CPT-преобразования процесс (*) имеет вид

CPT:

    В силу CPT-инвариантности, если в природе происходит некоторый процесс, то точно с такой же амплитудой может происходить CPT-сопряженный процесс, в котором частицы заменены соответствующими античастицами, проекции их спинов и импульсов изменили знак, а начальное и конечное сосояния поменялись местами. На опыте не обнаружено ни одного случая нарушения CPT-инвариантности.     В результате CPT-преобразования получается процесс, который существует в природе.

26. Исходя из экспериментального значения угла Вайнберга sin²  _W = 0.226 +  0.005 оценить величину слабого заряда g_W и сравнить ее с величиной электрического заряда e.

Из единой теории электрослабых взаимодействий следует соотношение между электрическим и слабым зарядами: где e - элементарный электрический заряд, g_W - слабый заряд,  _W - угол Вайнберга. Экспериментальное значение sin²  _W = 0.226. Оценка отношения электрического заряда к слабому .

27. Возможен ли опыт по визуальному наблюдению промежуточных бозонов , например, в пузырьковой, искровой, дрейфовой камере, ядерных фотоэмульсиях или другом трековом приборе?

Рассмотрим реакцию рождения  -бозонов на крупнейшем протон-антипротоном коллайдере TEVATRON (Лаборатория им. Ферми, США) с энергией каждого пучка 1 ТэВ. Тогда W-бозоны будут рождаться с полной энергией Е = 1 ТэВ и от точки рождения до распада пройдут расстояние l =  v, где - время жизни W-бозона с учетом релятивистского замедления времени

Среднее время жизни W-бозона в его собственной системе ₀  /Г , где Г - ширина распада W-бозона, равная 2.1 ГэВ. Отсюда

Из релятивистского соотношения для полной энергии

находим скорость

и

Отсюда имеем

т.к. энергия покоя W-бозона (mc² = 80 ГэВ) много меньше его полной энергии (E = 1 ТэВ).

l = 3.1 10^-25 с ^x 3 10¹⁰ см/с ^x (1000 МэВ/80 МэВ) 10^-13 см  1 Фм.

Таким образом, пробег промежуточного бозона до распада слишком мал (примерно в 10 раз меньше диаметра ядра), чтобы его можно было наблюдать в любом трековом приборе.

28. Определить длину L и время t пробега реакторного нейтрино в воде, воспользовавшись данными эксперимента Райнеса и Коуэна (1956 - 1959 г.г.), получившими для сечения взаимодействия антинейтрино с веществом 10^-43 см².

Антинейтрино в реакторе рождается в реакции распада нейтрона

n  p + e^- + _e.

Число нейтрино прошедших через слой вещества толщиной х,

N(x) = N(0) exp(-n x),

где n - количество ядер вещества в единице объема.

Определим L как длину, на которой поток антинейтрино уменьшается в е раз, то есть L = 1/ns . В свою очередь n = N_A /A, где N_A - число Авогадро, - плотность вещества, А - молярная масса. Для воды  = 1 г/см³, А(Н₂О) = 18. Откуда

L = 1/ns  = A/ N_A = 18/(1 г/см^3 x 6 10^23 x 10^-43 см²) = 3 10²⁰ см = 3 10¹⁵ км. t = L /с = 3 10¹⁵ км / 3 10⁵ км/с = 10¹⁰ с 320 лет (1 год 3.156 10⁷ с).

29. Нарисовать простейшие диаграммы Фейнмана взаимодействия реакторного антинейтрино с веществом.

Реакторное антинейтрино - электронное, то есть _e. Обычное вещество состоит из кварков первого поколения u, d и e^-. Все возможные диаграммы взаимодействия  _e с этими частицами легко получить из диаграммы распада d-кварка, ответственного за распад нейтрона

d u + e^- + _e,   n p + e^- + _e:

Из этой диаграммы получаем диаграммы взаимодействия  _e с u-кварком и электроном:

  _e не будет взаимодействовать с d-кварком с участием W-бозона (нельзя нарисовать двухузловую диаграмму такого процесса). Однако  _e может рассеиваться на d-кварке, с участием Z-бозона.

Аналогичный вид имеют диаграммы рассеивания   _e на u-кварке и электроне.

30. Из характеристик переносчиков слабого взаимодействия и Z бозонов определить радиус слабых сил.

Массы W и Z бозонов: m_W  80 ГэВ/c², m_Z 90 ГэВ/c². Радиус действия слабых сил a_W связан с массой переносчиков взаимодействия W и Z бозонов соотношением:

(*),

следующими из соотношения неопределенности E t  . Действительно, нарушение закона сохранения энергии на величину E = m_W c² m_Z c² ненаблюдаемы в течение временных интервалов

t< / E  /m_W c²  /m_Z c².

Откуда следует (*). Так как m_W m_Z 100 ГэВ/c², имеем

a_W 0.2 ГэВ Фм/100 ГэВ = 2 10^-3 Фм.

31. Протон, поглощая фотон, переходит в ⁺. Определить тип, мультипольность и энергию фотона.

Протон р и ⁺ имеют массы m_p = 938,3 МэВ/c², = 1232 МэВ/c² и спины-четности J^P(p) = 1/2⁺, J^P( ⁺) = 3/2⁺. Характеристики фотона получаются из законов сохранения полного момента количества движения и четности (процесс электромагнитный):

  ;

или

;

Откуда J = 1 или 2, а = +1. Поэтому, рассматриваемый в задаче процесс осуществляется М1 и Е2-фотонами. Энергия фотона

 =  c² - m_pc² = (1232 - 938) МэВ  300 МэВ.

32. Какая энергия нужна для "переворота" кварка в нуклоне?

Рассмотрим протон р и ⁺. Обе частицы имеют одинаковый кварковый состав u u d и нулевой результирующий орбитальный момент кварков. Но у протона спин d-кварка противоположен спину u-кварков, а у ⁺ спины всех кварков направлены в одну сторону: p = u u d ( ), ⁺ = u u d ( ). Таким образом от протона к ⁺ можно перейти, изменив направление спина d-кварка, то есть "перевернув" его. Для перехода протона в ⁺ требуется энергия около 300 МэВ, то есть для "переворота" кварка в протоне нужна энергия около 300 МэВ.

33. Определить магнитные моменты u и d-кварков в ядерных магнетонах, считая, что их масса равна 1/3 массы нуклона.

Всякая точечная заряженная частица со спином 1/2, массой m и зарядом q имеет величину собственного магнитного момента

.

Исходя из этого, для u и d-кварка соответственно имеем:

где - ядерный магнетон.

34. Могут ли топ-кварк ( t ) и его антикварк ( ) образовать связанную систему t - топоний, аналогичную чармонию (с ) и ботомонию (b )?

О связанной системе кварков можно говорить лишь в том случае, когда она существует в течение времени большем, чем требуется частице со скоростью света для преодоления расстояния 1 Фм (размер адрона), то есть

10^-13 см / 3 10¹⁰ см/с 10^-23 10^-24 сек.

Топ-кварк имеет ширину распада Г_t 2 ГэВ, откуда время жизни топ-кварка

t _t /Г 6.6 10^-22 МэВ с / 2 10³ МэВ = 3,3 10^-25 сек,

то есть слишком мало, чтобы он успел образовать связанную систему t .

35. Показать, что для частиц октета легчайших барионов с J^P = 1/2⁺ выполняется следующее правило: у кварков одинакового аромата спины параллельны.

Волновая функция бариона (системы из трех кварков) может быть записана в следующем виде

(1,2,3) =  (К З С)  (r1 r2 r3)  (s1 s2 s3)  (I1 I2 I3)

(*)

где 1, 2, 3 - совокупность всех координат и квантовых чисел кварков, а произведение четырех функций справа - это произведение соответственно цветовой (К - красный, З - зеленый, С - синий), пространственной, спиновой и изоспиновой частей волновой функции бариона. (1, 2, 3) должна быть антисимметрична в целом к перестановке всех квантовых чисел и координат двух тождественных кварков (кварки u и d остаются тождественными, поскольку составляют изоспиновой дублет). При этом цветовая, пространственная, спиновая и изоспиновая функции в отдельности могут быть как симметричными (s), так и антисимметричными (a). (К З С) всегда антисимметрична, так как кварки в барионе разноцветны. Для легчайших барионов орбитальные моменты кварков l = 0 и пространственная функция (r₁ r₂ r₃) - симметрична. В этом случае (*) переписывается в виде

a(1, 2, 3) =  a(К З С)  s(r1 r2 r3)  (s1 s2 s3)  (I1 I2 I3)

(**)

Отсюда следует, что в супермультиплетах легчайших барионов (например, октете J^P = 1/2⁺ и декуплете J^P = 3/2⁺) допустимы лишь такие кварковые комбинации, у которых спиновая и изоспиновая функции одновременно либо симметричны, либо антисимметричны, то есть спиново-изоспиновая функция либо _s(s₁ s₂ s₃)  _s(I₁ I₂ I₃), либо _a(s₁ s₂ s₃)  _a(I₁ I₂ I₃).

Рассмотрим теперь протон (u u d). Запишем (**) в виде

a(u u d) =  a(uК uЗ dС)  s(ru ru rd)  (su su sd)  (Iu Iu Id).

Переставим u-кварки. Изоспиновая функция к таким перестановкам симметрична. Значит должна быть симметрична и спиновая функция. Это означает, что спины u-кварков обязаны быть параллельными. Спин d-кварка антипараллелен спинам u-кварков, чтобы результирующий момент протона (его спин) был равен 1/2. Итак, (s_u s_u s_d) =  ( ). Эту ситуацию можно изобразить и так: . Аналогично рассуждая, можно получить , , .

36. Показать, что в супермультиплете легчайших барионов 1/2⁺ не может быть частиц, состоящих из кварков одинакового аромата u u u , d d d , s s s.

Рассмотрим комбинацию u u u. Пусть у зеленого и красного кварков спины параллельны:

_a(u u u) =  _a(u_К u_З u_С)  _s(r_u r_u r_u)  ( )  (I_u I_u I_u).

Изоспиновая функция симметрична к перестановке любой пары u-кварков. Поэтому симметричной обязана быть и спиновая функция. Однако, она антисимметрична к перестановке тех u-кварков, у которых спины антипараллельны. Таким образом, комбинация из трех одинаковых по аромату кварков в супермультиплете барионов 1/2⁺ ( l = 0) запрещена.

37. Как направлены спины кварков в и ⁰?

Обе частицы имеют один и тот же кварковый состав u d s и входят в октет легчайших барионов с J^P = 1/2⁺. Рассмотрим . Ее изоспин равен нулю, то есть изоспиновая волновая функция антисимметрична к перестановке имеющих изоспин кварков u и d. Поэтому спиновая волновая функция так же обязана быть антисимметричной к перестановке u и d-кварков, откуда следует, что спины этих кварков в антипараллельны, а направление спина s-кварка произвольно, например .

Рассмотрим ⁰. Это частица с изоспином 1, то есть ее изоспиновая волновая функция симметрична к перестановке несущих изоспин кварков u и d. Поэтому симметричной к такой перестановке будет и спиновая функция. Это означает, что спины u и d-кварка в ⁰ параллельны, а спин s-кварка направлен в противоположную сторону: .

38. ⁰-гиперон распадается следующим образом: ⁰   + . Как меняются кварковые состояния при этом распаде? Определить тип и мультипольность испущенного фотона. Как направлен спин , если спин ⁰ направлен вверх?

⁰ и имеют одинаковый кварковый состав uds. Спины кварков в этих частицах направлены следующим образом: , . Отсюда следует, что при распаде ⁰ с излучением фотона "переворачивается" один из кварков (в данном примере d-кварк; направление его спина меняется на противоположное). Спин-четность ⁰ равны 1/2⁺. Таковы же и спин-четность . Откуда спин- четность излученного фотона 1⁺ , то есть излучается М1-фотон. Если до распада спин ⁰ был направлен вверх, то спин будет направлен вниз.

39. Показать, что кварк, испустив глюон, не может перейти в антикварк.

П усть кварк имеет красный цвет. Тогда диаграмма предполагаемого условием задачи процесса имеет вид:

Поскольку имеет место закон сохранения цвета, то цветовая структура глюона g может быть получена из следующих равенств:

К =   + g, К =   + g, К =   + g,

откуда g = КК, КЗ или КС, что, очевидно, невозможно для глюона, поскольку последний должен иметь структуру цвет-антицвет.

40. Что можно сказать об электрическом квадрупольном моменте протона, нейтрона и других адронов?

В статической кварковой модели протон (нейтрон) состоят из трех кварков с нулевыми орбитальными моментами l = 0, то есть описываются сферически симметричными волновыми функциями. Поэтому электрические квадрупольные моменты протона и нейтрона должны быть равны нулю. Отличные от нуля электрические квадрупольные моменты могут быть у адронов, в которых кварки имеют l 0.

41. Одна из следующих двух диаграмм, описывающих распад n +  ⁰ неправильна. Какая?

Неправильная диаграмма справа. Z-бозон фигурирует в нейтральных слабых токах, не меняющих ароматы кварков, т.е. никаких связанных с кварками квантовых чисел. В правой диаграмме испускание Z-бозона сопровождается переходом s-кварка в d, при котором изменяется странность и изоспин.

42. Возможно ли рассеяние нейтрино на электроне с участием 1) нейтрального слабого тока; 2) заряженного слабого тока? Положительный ответ сопроводить диаграммой процесса.

В нейтральных слабых токах переносчиком взаимодействия является Z-бозон, в заряженных слабых токах - . Оба вида рассеяния возможны и их диаграммы следующие:

43. Барионы ^- и ^- имеют близкие массы (соответственно 1197 и 1232 МэВ/с²) и распадаются одинаково:

^-   n +  ^-, ^-  n +  ^-.

За счет каких взаимодействий происходят эти распады? Нарисовать их кварковые диаграммы и оценить константу _w слабого взаимодействия, полагая константу сильного взаимодействия _s 1.

^- распадается за счет слабого, а ^-- за счет сильного взаимодействия. В первом случае не сохраняется странность и изоспин, а во втором все квантовые числа сохраняются.

Диаграммы распадов:

Времена жизни ^- и ^- следующие: ( ^-) = 1.5 10^-10 с,

Время жизни t связано с константой распада в случае двухузловых диаграмм соотношением

откуда

.

Полагая _s  1, имеем _w 10^-6.

44. Одна из реакций ассоциированного рождения странных частиц ^- + p  + K⁰ происходит за счет сильного взаимодействия, т.е. за время ~10^-23. Каждая из рожденных странных частиц и K⁰ распадается за счет слабых сил за время ~10^-10 сек. Из этих данных получите отношение констант слабого и сильного взаимодействий _w / _s.

Основными диаграммами рождения и распада странных частиц являются двухузловые диаграммы. Поэтому величина _w / _s может быть найдена из соотношения

Откуда _w / _s 10^-6.

45. Почему отсутствие распада K^{+  +} +  можно рассматривать как указание на нулевой спин K⁺–мезона?

Спин мезона ноль или целочислен. Если бы спин K⁺ был бы не равен нулю, например, 1, то из закона сохранения момента количества движения было бы (т.к. спин ⁺ равен нулю): и, поскольку четности K⁺ и ⁺ одинаковы, то возможно было бы излучение М1–фотона. При любом не равном нулю спине K⁺ можно было бы подобрать тип и мультипольность фотона, которые удовлетворяли бы законам сохранения момента и четности, и значит такой фотон должен был бы излучаться. Лишь в том случае, если спин K⁺ нулевой, излучение фотона запрещено, т.к. равенство для фотона невозможно поскольку его спин не может быть нулевым.

46. Определить относительный орбитальный момент p и ⁺, образующихся при распаде ⁺ p +  ⁺.

Законы сохранения момента количества движения и четности для рассматриваемого распада имеют вид

( ⁺) = (p) + ( ⁺) + , .

Учитывая, что J( ⁺) = 3/2, J( p) = 1/2 и J( ⁺) = 0 из первого уравнения имеем l = 1 или 2. Т.к. внутренние четности участвующих частиц следующие: = +1; P_p = +1 и = -1, то второе уравнение оставляет единственную возможность l = 1.

47. Захват отрицательных каонов в гелии иногда приводит к образованию гиперядер (ядер, в которых нейтрон заменен -гипероном) в соответствии с реакцией K^- + ⁴He +  ⁰. При изучении относительных мод распада и, в частности, из изотропии распадных продуктов установлено, что J( ) = 0. Покажите, что это означает отрицательную четность для K^-, независимо от углового момента состояния, из которого K^- был захвачен.

Если l – орбитальный угловой момент, а спины всех участвующих частиц равны нулю, то, перемножая четности в начальном и конечном состояниях, находим

(-1)^lP_K = (-1)l

(внутренние четности ⁴He и положительны). Откуда P_K =   = -1.

48. Покажите, что реакция p^- + d n + n +  ⁰ не может идти для покоящихся пионов.

Т.к. J_d = 1 и рассматривается захват из s-состояния, в реакции будут участвовать состояния с J = 1 в начале и конце. Поскольку энерговыделение Q всего 0.5 МэВ, конечное состояние n и ⁰ должно быть s–состоянием. Следовательно, два нейтрона должны находиться в триплетном спиновом состоянии, что запрещено принципом Паули.

49. Ядро ³⁴Cl испытывает ⁺-распад: ³⁴Cl ³⁴S + e⁺ +  _e. Такой же тип  -распада имеет место и для ⁺-мезона: ^{+ 0} + e⁺ +  _e. Что еще сближает эти два ⁺-распада? Оцените отношение вероятностей сравниваемых распадов и время жизни ⁺ относительно ⁺-распада, учитывая, что средние времена жизни ³⁴Cl и пиона собственно = 1.5 с, = 2.6 10^-8 с и вероятность распада пиона по каналу e⁺  _e около 10^-4.

Основные состояния ³⁴Cl и ³⁴S, также как ⁺ и ⁰, имеют нулевые спины. Поэтому оба -распада разрешенные фермиевского типа: 0⁺  0⁺ и 0^-   0^- соответственно. Начальное и конечное ядро принадлежат к изоспиновому мультиплету с I = 1. То же самое относится и к пионам, участвующим в процессе. Кроме того, близки энерговыделения Q этих двух распадов (соответственно 5.0 и 4.1 МэВ). Вероятности распадов в единицу времен обратны средним временам жизни. Поэтому отношение вероятностей ⁺-распада ³⁴Cl и пиона с учетом того, что вероятность распада последнего по каналу e⁺ _e всего 10^-4, оказывается равной

Время жизни ⁺ относительно ⁺-распада равно

10⁴ = 2.6 10^-8 с 10⁴ = 2.6 10^-4 с.

50. Среднее время жизни нейтрона _n = 890 с, а мюона = 2.2 10^-6 с. Покажите, что если принять во внимание разницу в энерговыделении (правило Сарджента), то константы взаимодействия в обеих случаях совпадают с точностью до фактора 10.

В распаде нейтрона энерговыделение 0.78 МэВ, а мюона - около 105 МэВ. Имеем для отношения констант распада _n/ с учетом правила Сарджента:

51. Среднее время жизни мюона равно 2.2 10^-6 с. Рассчитайте время жизни -лептона, считая, что относительная вероятность распада ⁺  e⁺ +  _e +  составляет 18% и что c² = 1777 МэВ, c² = 105.7 МэВ. Сравните результат с измеренным временем жизни -лептона 2.9 10^-13 с.

Используя правило Сарджента получаем для времени жизни -лептона

где K - относительная вероятность распада по каналу e⁺ n _e  , равная 0.18. Окончательно имеем

52. W-бозон распадается за счет слабого взаимодействия и время этого распада, оказывается

где G_W = 2.1 ГэВ - ширина распада W-бозона. Объяснить, почему это время столь мало и даже на два порядка ниже характерного времени распада за счет сильного взаимодействия.

Главная причина "сверхбыстрого" слабого распада W-бозона - большое энерговыделение Q_w m_wc² = 80 ГэВ. Согласно правилу Сарджента вероятность слабого распада зависит от энерговыделения в пятой степени. Оценим среднее время жизни W-бозона, исходя из времени распада -мезона  = 2.6 10^-8 с. Энерговыделение при распаде -мезона (  ^{+  +} +  )

 = (  -  ) c² = 140 МэВ - 106 МэВ = 34 МэВ.

Для _w имеем оценку

близкую к табличному значению.