Задания на контрольную работу. Контрольная работа №3
Задание 1. Дана функция z=f(x;y).
Показать, что F(x;
y; z;
)
.
№201.
,
№202.
№203.
,
№204.
,
№205.
,
№206.
,
№207.
,
№208.
,
№209.
,
№210.
,
Задание 2. Найти наименьшее и
наибольшее значения функции
в замкнутой области D,
заданной системой неравенств. Сделать
чертеж.
№211.
;
№212.
;
№213.
,
№214.
№215.
;
,
№216.
,
№217.
,
№218.
;
,
№219.
;
,
№220.
;
,
Задание 3. Даны функция
,
точка
и вектор
.
Найти: 1)
в
точке A; 2) производную в
точке A по направлению
вектора
.
№221.
,
A(1;1);
№222.
,
A(-1;2);
№223.
,
A(1;3);
№224.
A(1;1);
№225.
A(2;-1);
№226.
A(1;2);
№227.
A(4;-3);
№228.
A(-1;-2);
№229.
,
A(-5;6);
№230.
A(2;3);
Задание 4. Экспериментально получены
пять значений функции
при пять значениях аргумента, которые
записаны в таблице:
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
Методом наименьших квадратов найти
функцию вида
,
выражающую приближенную (аппроксимирующую)
функцию
.
Сделать чертеж, на котором в декартовой
прямоугольной системе координат
построить экспериментальные точки и
график аппроксимирующей функции
.
№231. y|| 3,4 | 3,5 | 3,1 | 1,2 | 2,4 |
№232. y|| 0,6 | 1,6 | 3,7 | 5,2 | 6,4 |
№233. y|| 4,7 | 5,5 | 4,0 | 2,1 | 2,7 |
№234. y|| 4,8 | 5,3 | 4,2 | 3,8 | 2,3 |
№235. y|| 3,9 | 5,1 | 3,3 | 1,5 | 2,3 |
№236. y|| 5,7 | 6,7 | 4,9 | 3,4 | 3,9 |
№237. y|| 5,2 | 6,3 | 4,8 | 2,7 | 1,8 |
№238. y|| 5,1 | 4,8 | 5,2 | 2,9 | 2,1 |
№239. y|| 4,5 | 2,5 | 0,5 | 3,5 | 1,6 |
№240. y|| 3,6 | 4,5 | 3,2 | 1,3 | 1,8 |
Задание 5. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.
№241. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№242. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№243. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№244. а)
;
б)
;
в)
г)
№245. а)
б)
;
в)
;
г)
.
№246. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№247. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№248. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
№249. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
№250. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Задание 6. Вычислить приближенные
значения определенного интеграла
с помощью формулы Симпсона, разбив
отрезок интегрирования на 10 равных
частей. Все вычисления производить с
округлением до третьего десятичного
знака.
№251.
№255.
№259.
№252.
№256.
№260.
№253.
№257.
№254.
№258.
Задание 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
№261.
№266.
№262.
№267.
№263.
№268.
№264.
№269.
№265.
№270.
Задание 8.
№271. Вычислить объем тела, образованного
вращением фигуры, ограниченной графиками
функций
вокруг оси Oy.
№272. Вычислить длину дуги кривой
от точки
до точки
.
№273. Вычислить площадь фигуры, ограниченно
линиями, заданными уравнениями
,
.
№274. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кардиоидой
.
№275. Вычислить объем тела, образованного
вращением фигуры, ограниченной графиками
функций
,
вокруг оси Ox.
№276. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
,
№277. Найти площадь фигуры, ограниченной
астроидой
,
№278. Вычислить длину дуги кривой
от точки А(1;0) до точки B(2;1).
№279. Найти объем тела, образованного
вращением фигуры, ограниченной линиями
вокруг оси Oy.
№280. Найти объем тела, образованного
вращением фигуры, ограниченной линиями
,
вокруг оси Oy.
Задание № 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№ 281.
№ 282. (1+x
)
-2xy=(1+x
)
№ 283.
=
№ 284. x
=y
ln (
)
№ 285. x
+x
tg
№ 286. +y cos = sin 2x
№ 287.
+2xy=2xy
№ 288.
№ 289. x + y =4x
№ 290.
-
y=
Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№291. (1- x
x
№ 292. (1+ ( )
№ 293. 1+(
)
№ 294. x
№ 295.
№296.
№297.
№298.
№299.
№300.
Задание 11. Найти частное решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее условиям
,
.
№301.
,
№302.
,
№303.
,
№304.
y(0) =0,
№305.
,
y(0)=1,
№306.
y(0) =0,
№307.
y(0) = 1,
№308.
№309.
№310.
Задание 12. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Требуется: 1) Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения;
2) записать данную систему и её решение в матричной форме.
№311.
№312.
№313.
№314.
№315.
№316.
№317.
№318.
№319.
№320.
Задание 13.
№321. Пуля, двигаясь со скоростью
м/с,
ударяется о достаточно плотную стену
и начинает углубляться в нее, испытывая
силу сопротивления стены; эта сила
сообщает пуле отрицательное ускорение,
пропорциональное квадрату её скорости
с коэффициентом пропорциональности
.
Найти скорость пули через 0,001 с после
вхождения пули в стену.
№322. Материальная точка массой
г движется прямолинейно. На нее действует
сила в направлении движения,
пропорциональная времени с коэффициентом
пропорциональности
,
и сила сопротивления среды, пропорциональная
скорости с коэффициентом пропорциональности
.
Найти скорость точки через 3 секунды
после начала движения, если начальная
скорость точки была равна нулю.
№323. В сосуде 100 л водного раствора соли.
В сосуд втекает чистая вода со скоростью
,
а смесь вытекает с той же скоростью,
причем перемешивание обеспечивает
равномерную концентрацию раствора. В
начальный момент в растворе содержалось
кг соли. Сколько соли будет содержаться
в сосуде через 20 мин после начала
процесса?
№324. Кривая проходит через точку A(2;1)
и обладает тем свойством, что угловой
коэффициент касательной в любой её
точке пропорционален квадрату ординаты
точки касания с коэффициентом
пропорциональности
.
Найти уравнение кривой.
№325. Материальная точка массой
г
погружается в жидкость, сила сопротивления
которой пропорциональна скорости
погружения с коэффициентом
пропорциональности
кг/с. Найти скорость точки через 1с после
начала погружения, если в начальный
момент она была равна нулю.
№326. Моторная лодка двигалась в спокойной
воде со скоростью
кг/ч
. На полном ходу её мотор был выключен
и через 10 секунд скорость лодки
уменьшилась до
км/ч. Сила сопротивления воды
пропорциональна скорости движения
лодки. Найти скорость лодки через 1
минуту после остановки мотора.
№327. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой точки, проведённой в этой же точке, с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.
№328. Кривая проходит через точку A(1;2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой её точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.
№329. Кривая проходит через точку А(2;4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.
№330. Кривая проходит через точку А(1;5) и обладает свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.