1. Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями.

В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.

Пример.

Литература: [2, гл.2 c. 3-9], [4, c. 143-162],

где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.

Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании.Например, в 10 варианте выполняют следующие номера из предложенных заданий контрольной работы: 210,220,230 и так далее.

В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки.

2. Программа дисциплины.

Тема 6. Функции нескольких переменных.

Функции многих переменных, их область определения. Частные производные. Наибольшее и наименьшее значения функции. Производная по направлению. Градиент. Метод наименьших квадратов.

Литература: [3, гл12 c. 284 – 304]

Вопросы для самоконтроля.

1. Вычисление частных производных функции многих переменных.

2. Вычисление производной по направлению.

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

4. Решение задач с помощью метода наименьших квадратов.

Тема 7. Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл. Приближенное значение определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.

Литература: [3, гл7,8 с. 159-215].

Вопросы для самоконтроля.

1. Вычисление неопределенных интегралов..

2. Вычисление приближенного значения интеграла с помощью формулы Симпсона.

3. Вычисление несобственных интегралов первого и второго рода.

4. Определенный интеграл и его приложения.

Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений.

Литература:[3, гл15 с. 416-449].

Вопросы для самоконтроля.

1. Решение уравнений с разделяющимися переменными..

2. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка..

3. Дифференциальные уравнения, не содержащие искомой функции.

4. Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной.

5. Решения систем дифференциальных уравнений.

3. Контрольные работы.

Программой дисциплины «Математика» для студентов I курса предусмотрено выполнение контрольных работ №3.

3.1. При выполнении контрольной работы №3 необходимо изучить функции многих переменных, интегральные исчисления и теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Ниже приведены примеры выполнения расчетов.

К заданиям 201-210.

Пример. Проверить, что для функции .

Решение. Находим частные производные второго порядка.

Получим тождество:

=

К заданиям 211-220. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге

Решение: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:

1. Найти критические точки (лежащие внутри данной области) и вычислить в них значения функции.

2. Найти наибольшее (наименьшее) значения функции на границе области.

3. Сравнить все полученные значения функции.

Данная функция имеет частные производные:

- критическая точка

Границей данной области является окружность или , где . Функция на границе области становится функцией одной переменной :

, аргумент которой изменяется на отрезке

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке

Вычисляем ее значения на концах отрезка , т.е. в точках

Сравнивая значение, заключаем, что функция имеет наибольшее значение, равное 18 и наименьшее значение, равное -18, причем

К заданиям 221-230.

Пример. Даны функция , точка и вектор , найти:

а) в точке А;

б) производную в точке А по направлению вектора .

Решение:

а) Имеем

Значит,

б) Найдем направляющие косинусы вектора ,

Следовательно,

К заданиям 231-240.

Дана система точек, координаты которых указаны в таблице, число точек n=6

Требуется методом наименьших квадратов найти функцию так, чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек. Неизвестные коэффициенты находим из системы:

где

В нашем случае система имеет вид

Решим ее методом определителей:

Искомое уравнение

К заданиям 241-250.

Пример. Найти неопределенные интегралы.

а)

Подстановка . Тогда , откуда .

Таким образом,

б)

Применяем формулу интегрирования по частям

Пусть , тогда

Получаем

К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям.

Пусть

Таким образом,

в)

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой

Подынтегральную функцию разложим на дроби

, откуда

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

Приравнивая соответствующие коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений:

Таким образом,

Решим отдельно интеграл

Итак,

г)

Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому делаем подстановку

, , то есть

К заданиям 251-260.Пример. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 8 равных частей. Все вычисление производить с округлением до третьего десятичного знака.

Решение: Делим интервал [1;9] на 8 равных частей, находим длину одной части

h= ,

точки деления значения подынтегральной функции

В этих точках:

ё

По формуле Симпсона

.

К заданиям 261-270

Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение: Подынтегральная функция терпит разрыв при х=3

Согласно формуле

Имеем

Интеграл сходится и его величина составляет .

К заданиям 271 ‑ 280.

Пример. Вычислить длину дуги полукубической параболы между точками А(2;1) и B(5;-8).

Решение:

Длина дуги АВ определяется формулой

Разрешаем данное уравнение относительно y и находим :

Подставляя в формулу, находим

‌‌‌‌‌‌

К заданиям 281 ‑300.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. 

Преобразуем уравнение к виду

Сделав подстановку ,т.е. y = u x,

Получим или

Интегрируя, имеем:

, т.е.

Отсюда , т.е.

Учитывая, что , получаем общее решение заданного уравнения

2.

Уравнение приводится к виду ,где

- непрерывные функции.

Это уравнение Бернулли

Полагаем . Получаем

или

Решаем первое уравнение ,

Разделяя переменные , т.е.

Выбирая простейшие решения (С=0), находим

Решаем второе уравнение

, где или

, т.е. , откуда

Таким образом, , где - общее решение дифференциального уравнения.

3.

Положим y`=p=p(y). Тогда , а исходное уравнение примет вид:

Т.е. , откуда

Заменим p на y`, получим

, или

Получим общее решение исходного уравнения в неявном виде.

К заданиям 301-310.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

А) Найдем , решим соответствующее однородное уравнение , составим

характеристическое уравнение:

Тогда - общее решение однородного уравнения.

Б) Найдем у - частное решение неоднородного уравнения. Его будем искать в виде, подобном первой части. Там - это многочлен второй степени, в общем виде это

, т.е. . Так как есть решение первоначального дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем

и подставим в первоначальное уравнение

Два многочлена равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты в обеих частях

Тогда

Общее решение

К заданиям 311-320.

Дана система линейных уравнений:

Найти общее решение систем с помощью характеристического уравнения

Решение: Составим характеристическое уравнение , где

- матрица системы,

- единичная матрица.

Имеем , или

Его корни - характеристические числа матрицы.

При уравнения для определения собственного вектора имеют вид и

и сводятся к одному уравнению . Последнее определяет вектор (1;-2).

При получаем уравнения или

Это уравнение определяет вектор (1;1). Поучаем фундаментальную систему решений:

Для :

Для :

Общее решение системы имеет вид:

К заданиям 321-330.

У какой кривой отрезок любой касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?

Решение: Уравнение касательной в любой точке (x ; y) искомой кривой будет , где - координаты любой точки на касательной.

Полагая в этом уравнении , найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох:

Решая это дифференциальное уравнение искомой кривой как уравнение с разделяющимися переменными, получим

Следовательно, искомая кривая есть парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ох.