3. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) называют величину несобственного интеграла (если он сходится):

М(Х)= .

Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическое ожидание которой М(Х) = а и функция f(x) является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

D(Х)= .

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Для непрерывной случайной величины среднее квадратическое отклонение (Х) определяется, как и для дискретной величины, формулой (Х) = .

Пример 9.11. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.

Решение. Согласно определениям математического ожидания непрерывной случайной величины и дисперсии непрерывной случайной величины имеем

М(Х)= =

D(Х)= ₌ = =

и, наконец, (Х) = .

4. Мода x_mod, медиана x_med и p-квантиль x_p случайной величины.

Модой x_mod случайной величины называется значение, для которого вероятность p_i (для дискретной случайной величины X) или плотность f(x) (для непрерывной случайной величины X) достигает локального или абсолютного максимума.

Медианой x_med случайной величины X называется значение, для которого выполняется условие p{X<x_med}=p{X≥x_med}. Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин. Для дискретных случайных величин это понятие вводится с известной долей условности.

В точке x=x_med площадь фигуры, ограниченная кривой y=f(x) графика плотности распределения и осью OX делится на две равные по площади фигуры.

p-Квантилью x_p случайной величины X называется значение, для которого выполняется условие p{X<x_p}=F(x_p)=p. Очевидно, что медиана – это квантиль x_0,5.

5. Некоторые законы распределения случайных величин

1. Биномиальное распределение. Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 - р.

Найдем вероятность того, что при п испытаниях событие А наступит т раз (mп).

Пусть событие А наступило в первых т испытаниях т раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из п элементов по т элементов. При этом вероятность каждого сложного события равна: р^тq^n-т. Так как эти сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если Р_п(т) есть вероятность появления события А т раз в п испытаниях, то

Р_п(т) = р^тq^n-т

или

Р_п(т) = р^тq^n-т. (9.15)

Формулу (9.15) называют формулой Бернулли.

Пример 9.12. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найдем вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение, а) В данном случае п = 4, т = 3, p= 0,9, q=1-р= 0,1. Применим формулу Бернулли (9.15):

Р₄(3) = (0,9)³0,1 =0,2916.

б) Искомое событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей Р(А) = Р₄(3) + Р₄(4). Но Р₄(4) = (0,9)⁴= 0,6561. Поэтому Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.

Снова рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через X случайную величину, равную числу появлений события А в п испытаниях.

Понятно, что событие А может вообще не наступить, наступить один раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить п раз. Следовательно, возможными значениями величины А будут числа 0, 1, 2, ..., п - 1, п. По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:

Р_п(0) = qⁿ

Р_п(1) = р q^n-1

……

Р_п(т) = р^тq^n-т_.

Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:

X	0	1	...	т	...	n
р	qn	р qn-1	…	рт qn-m	...	рn

Построенный закон распределения дискретной случайной вели­чины X называют законом биномиального распределения.

Найдем М(Х). Очевидно, что Х_i — число появлений события А в каждом испытании — представляет собой случайную величину со следующим распределением:

Xi	0	1
рi	q	р

Поэтому М(X_i) =0q+ 1р = р. Но так как X = Х₁ + ... +Х_n, то М(X) =np.

Найдем далее D(Х) и (Х). Так как величина X_i² имеет распределение

Xi2	02	12
рi	0	1

то М(X_i²) =0²q+ 1²р = р. Поэтому D(X_i)= М(X_i²)- М² (X_i)= р-p² = р(1-p)= pq.

Наконец, в силу независимости величин Х₁, Х₂, ..., Х_n,

D(X)= D(X₁)+ D(X₂)+ ... + D(X_n)= npq.

Отсюда (Х)=

Пример 9.13. Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Решение. Вероятность появления герба при каждом бросании монеты р=½. Следовательно, вероятность непоявления герба q =1-½=½. Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п = 100 и р = ½. Поэтому

М(X) =np=100½=50; D(X)= npq=100½½=25; (Х)= = =5.

Пример 9.14. Допустим, что для хищника вероятность поимки отдельной жертвы составляет 0,4 при каждом столкновении с жертвой. Каково ожидаемое число пойманных жертв в 20 столкновениях?

Решение. Это пример биномиального распределения при n=20 и р=0,4. Ожидаемое число есть М(Х) - пр = 200,4 = 8.