3.3. Цепи с последовательным соединением элементов r, l, c.

Поведение сопротивления, индуктивности и емкости в цепи гармонического тока, активные, реактивные и полное сопротивления, угол сдвига по фазе между напряжением и током, последовательное соединение элементов

Для последовательной цепи, состоящей из нескольких элементов, строится векторная диаграмма напряжений.

За исходный вектор принимается вектор тока, т.к. при последовательном соединении через все элементы цепи протекает один и тот же ток.

Предварительно показем, что напряжения на отдельных участках цепи сдвинуты по фазе относительно тока.

A) Пусть в цепи только активное сопротивление R.

По закону Ома ток в такой цепи

Т.к. U = U_m cos ωt, то .

Отсюда следует, что напряжение и ток совпадают по фазе, а амплитуды тока и напряжения связаны законом Ома.

б) Пусть в цепи только индуктивность L.

Допустим, что ток в цепи i = I_m cosωt.

Этот ток в индуктивности вызывает э.д.с. самоиндукции

.

По 2-му закону Кирхгофа: e_L = -u_L,

отсюда получаем u_L = – ωL I_m sin ωt = U_mL cos(ωt + π/2).

Из этого следует, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол π/2, а амплитуды тока и напряжения можно то же связать законом Ома, если считать, что ωL=х_L – индуктивное реактивное сопротивление

Рассуждая аналогично, для цепи с емкостью С выявим, что напряжение на емкости отстает от тока на угол π/2 (рекомендуется установить самостоятельно), а амплитуды тока и напряжение можно связать законом Ома, если считать – реактивным емкостным сопротивлением.

Таким образом, векторная диаграмма действующих значений напряжений для цепи с последовательно соединенными элементами R, L, C (см.рис. 3.4,а) будет иметь вид, как показано на рис. 3.4,б.

а б

Рис.3.4

Вектор напряжения , приложенного к цепи, определяется как сумма векторов , а его величина равна

Для удобства восприятия взаимоотношений векторов, построим векторную диаграмму (рис. 3.5,б) напряжений для цепи, которая изображена на рис.3.5,а.

Вектор напряжения равен сумме векторов напряжений на отдельных участках цепи

.

Если сумму векторов представить следующим

образом:

,

то в соответствии с этой записью векторную диаграмму можно изобразить так, как показано на рис.3.6, а, б.

~ R₁ L R₂ C ~

а

U_R1 U_L U_R2 U_C

U

б Рис. 3.5

Векторная диаграмма, представленная на рис.3.6,б называется треугольником напряжений. Вектор результирующего напряжения на рис. опережает вектор тока I на угол φ = ψ_u – ψ_i.

а б

Рис.3.6

Если модули векторов треугольника напряжений разделить на модуль вектора тока, то получим сопротивления последовательной цепи R , X, Z :

R = R₁ + R₂ ; X = X_L – X_L ;

Эти сопротивления соотносятся как стороны прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник, стороны которого численно равны величинам R, X, Z, называется треугольником сопротивлений (см. рис.3.7).

Рис. 3.7

Таким образом, или – это выражение является законом Ома для последовательной цепи переменного тока.

На рис. 3.5, 3.6, 3.7 рассмотрен случай, когда X_L>X_C(U_L>U_C). Если Х_L<X_C, треугольники напряжений и сопротивлений будут иметь вид, показанный на рис.3.8 (а,б).

а) б)

Рис. 3.8

Обычно для расчета электрических цепей используют комплексные числа. Тогда все векторы можно изобразить на комплексной плоскости, как показано на рис.3.9 для цепи рис.3.5,а (значения величин произвольные).

Рис.3.9

В комплексной форме полное напряжение комплексов действующих значений записывается следующим образом

Ů = Ů_а + Ů_L + Ů_C

Для цепи на рис.3.5,а

Ů_a = Ů_R1 + Ů_R2 , R = R₁ + R₂

Или Ů = İR + jωLİ + İ / jωC = (R + j (ωL – 1 / ωC)) İ.

Это соотношение есть закон Ома, записанный в комплексной форме. Сомножитель перед I есть полное сопротивление последовательной цепи в комплексной форме .

Таким образом, закон Ома для комплексов действующих значения напряжения и тока Ů = Z İ , заметим, что Z ≡ , то есть комплексное сопротивление можно изображать либо с чертой вверху, либо – внизу.

В последовательной цепи возможен частный случай, когда X_L=X_C, при этом наступает режим, называемый резонансом напряжений. В этом случае ток в цепи максимальный.

Большой ток по закону Джоуля-Ленца вызывает большие потери в проводах. В электроснабжении же всегда стоит задача снижения тока в подводящих проводах к приемнику. Те есть последовательный резонанс с этой точки зрения, режим не экономичный.

Задачу повышения экономичности установки за счет снижения тока в подводящих проводах можно решить, используя резонанс токов, который возникает в параллельной цепи, если в них содержатся реактивности с разным характером полей.