6.2.4.Порядок анализа переходных процессов операторным методом
В общем случае порядок расчета цепи операторным методом следующий.
Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий.
Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации.
Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме.
Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений.
Определение оригиналов искомых токов и напряжений.
6.4. Метод уравнений состояния
Как
известно, переходный процесс в любой
цепи определяется не только параметрами
входящих в нее элементов, но и независимыми
начальными (t=0+)
условиями — токами через индуктивности
и напряжениями на емкостях
в
момент времени t=0+,
которые должны быть известны или
рассчитаны. Через них выражают искомые
величины во время переходного процесса.
Они же определяют энергетическое
состояние цепи. Поэтому в качестве
переменных состояния выбирают токи
и напряжения
.
Действующие
в цепи источники называются входными
переменными
,
неизвестные функции — выходными
.
Для цепи с n
независимыми токами
и напряжениями
должны быть заданы еще n
независимых начальных условий.
Для линейных цепей система уравнений состояния является линейной и может быть записана в виде набора дифференциальных уравнений первого порядка, которые можно представить в виде матричного уравнения:
или в более компактной форме
,
где
—
квадратная матрица порядка n
(основная);
— матрица-столбец
(размера
)
переменных состояния (вектор переменных
состояния);
— матрица
размера
(матрица связи);
— матрица-столбец
(размера
)
ЭДС и токов источников. Элементы этих
матриц определяются топологией и
параметрами цепи.
Расчет цепей методом переменных состояния можно разделить на два этапа:
1) составление системы дифференциальных уравнений цепи;
2) решение составленной системы дифференциальных уравнений.
Составить систему дифференциальных уравнений цепи можно различными способами, например, с применением метода наложения или непосредственно из системы уравнений, записанных по законам Кирхгофа, путем исключения токов и напряжений резистивных элементов. Однако совместное решение уравнений Кирхгофа при увеличении числа ветвей цепи становится все более громоздким.
Уравнения состояния можно формировать и сразу в матричной форме, как показано в [1].
Решение системы дифференциальных уравнений, составленных методом переменных состояния, можно выполнить как аналитически, так и численными методами.
При
аналитическом
решении уравнения состояния записываются
в виде суммы матриц свободной —
и
принужденной —
составляющих:
Здесь
— соответствует
переходному процессу (свободная
составляющая) в цепи, обусловленному
ненулевыми начальными условиями
при
отсутствии внешних воздействий
,
—соответствует
реакции цепи на внешние воздействия
при нулевых начальных условиях
;
—
матрица (вектор) начальных значений
переменных состояния, полученных при
;
—
матричная экспоненциальная функция.
Таким образом, если в цепи после коммутации нет источников энергии, т.е. , то решение матричного уравнения имеет вид
Если
же после коммутации имеются источники
независимых воздействий, то матрица
и интегрирование матричного
дифференциального уравнения
приводит к решению в виде
.
Это
решение состоит из суммы двух слагаемых
— реакции цепи при ненулевых начальных
условиях и реакции цепи при нулевых
начальных условиях и наличии источников
внешних воздействий
.
Главная трудность расчета аналитическим методом заключается в вычислении матричной экспоненциальной функции. Матричную функцию вычисляют по формуле (теореме) Сильвестра [2]:
,
где
,
— собственные
значения (характеристические числа)
квадратной матрицы
,
,
т.е. корни уравнения
,
где
— единичная матрица порядка n.
Характеристические числа — это не что иное, как корни характеристического уравнения послекоммутационной схемы. Разложение матричной функции в представленный ряд предполагает, что характеристические числа различные (нет кратных корней).