30 Технологиялық үрдісті талдау әдістемесі басқару объектісі сияқты.

Басқару объектісі ретіндегі технологиялық процесті талдау әдістемесі. Автоматтандырылған жүйелерді өңдеу жанында басқару құрылғысын құрастырған кезде, синтездеу үрдіс құрылғысының негізгі этаптарының бірі басқару тұрғысындағы технологиялық үрдісті талдау болып табылады, яғни үрдістің құрылысын шығару, кіріс және шығыс  айнымалыларын  анықтау, кіріс және шығыс  айнымалыларының  математикалық тәуелділіктерін табу, объектінің технологиялық үрдісінің  жүрісін сипаттайды. Тап осы талдауды металлургиялық  үрдіс үлгісінде қарастырайық. Байқайтын болсақ, әрбір металлургиялық үрдіс металлургия агрегатына материалдық  ағынның берілген мөлшердегі энергияны жіберу арқылы металлургия процессі физикалық немесе физика-химиялыққа айналдырып, ол агрегаттың конструктивтік және технологиялық негіздеріне байланысты болады. Сондықтан  әрбір  металлургиялық үрдістің кіріс ағынын анықтауға болады, оның құрамы кіріс ағыны кезінде өзгереді, материалды шығыс ағыны-материалды кіріс ағынынын нәтижесі. Металлургиялық  үрдісті іске асыру үшін агрегатқа энергия беріледі – кіріс энергетикалық ағын.

Энергетикалық шығыс ағыны агрегаттан шығатын өнімдердің энергиясымен немесе материалдық ағынның физика - химиялық өзгерістері  арқылы  теңдестіріледі.Кіріс материалдық және энергетикалық ағындардың жағдайы – кейбір кіріс айнымалылардың жиынтығымен сипатталады, мысалы, ағын мөлшері (зат, энергия шығыны және т.б), бөлек компоненттердің құрамы, қысымдар және т.б.Кіріс айнымалыларының классификациясын келесі түрде жүргізуге болады:Басқарушы кіріс айнымалылары  (басқарушы әсерлер немесе басқарушылар) - оларды, айқын мақсаттарға жету үшін қолданып өзгертуге болады , мысалы металлургия үрдістерге берілген сипаттамалар.Басқарылмайтын кіріс айнымалылар (бөгеуіл әсер )- оларды, ешқандай амалмен өзгертуге болмайды, басқарылмайтын кіріс айнымалылары бақыланатын  (бұл айнымалыларды кез келген кезеңде немесе дискреттік жағдайларда ақпаратты құралдардың немесе әдістер арқасында алуға болады) және бақыланабайтын - (мағлұматты ала алмайтындар).Шығыс айнымалысы арқылы шығатын материалдардың және энергетикалық ағынының жағдайы кейбір шығыс айнымалылардың жиынтығымен, кіріс айнымалыларына тәуелді (басқарылатын шамалар) , басқарушылары ,  және  бөгеуіл әсерлермен сипатталады. Кіріс айнымалыларға шығыс материалдық заттың және энергетикалық ағындар мөлшері, бөлек компоненттердің құрамы, температуралар, агрегатта қосулар жатады.

1 Типтік математикалық моделдің түрлері.

Мематикалық модельдің негізгі түрлері. Математикалық модель априорлық хабарлы түрімен бөлінеді: Аналитикалық модельдер - бар болатын білімдердің негізінде коэффициенттердің оның жүйе қасиеттері туралы үлгі құрылымын және сандық мағыналарын анықтау күрделі.  Тәжірибелік-аналитикалық-модельдің қайсылардың априорлық қасиеттер негізінде құрылымды бағалауға болады, бірақ үлгі коэффициенттерінің сандық мағыналарын анықтауға болмайды. Тәжірибелік модельдер-априорлық мәліметтердің өте аз және құрылымды емес бағалауға рұқсат етпейді, коэффициенттердің сандық мағыналары емес. Объект қиындығының тәуелділігінде, оның табиғаты (стохастикалық үрдіс, немесе детерминантын тапқан үрдіс) моделге сәйкесті бөлінетіні детерминантын тапқан және стохастикалық моделдер. Нақты объекттің жақын дәрежесін анықтау және оның математикалық моделін құруы кезінде математикалық моделдер негізгі мақсат бар және математикалық модел теңестірулері,  ол дегеніміз модель нақты процесті тиісті бейнелеп түсіндіруге бағытталған. 5.2-суретте идентификациялау процесі көрсетіледі. Дифференциалды, интегралды теңдеулердің тұйық жүйесін F операторы ұсынады және эмпиризмдік мінез-құлық арақатынастарының, қажетті бастапқы және шектес шарттармен толықтырылған. Осы F функциональды оператор түрінің алынуы математикалық модельдің құру тәсілі болып түсіндіріледі. Осыдан, математикалық модель жүйесін қандай да формалдық тілде суреттелуін айтады, оның суреттеуіне формалдық процедуралардың өткізуі жанында мына жүйе мінез-құлықтары туралы - сызықтарда пікірлер мүмкіндік беретін көтеріп шығару. Математикалық модельдің өңдеудің ақырғы мақсатымен жүйе мінез-құлықтар нәтижелердің болжауы келеді (процестің) және кепілдеме жүрісі жүйенің немесе процестің өңдірілуі мүмкін әсері. Кафаров В.В. бойынша жүйеде орын алған құбылыстардың негізін және кіріс шамаларының өзгеруіне байланысты жүйенің мінезін бейнелейтін теңдеулер мен логикалық байланыстар жүйесі үрдістің математикалық моделі деп аталады.

Технологиялық үрдістердің математикалық модельдерін келесі топтарға бөлуге болады:

1.Шоғырланған параметрлері бар математикалық модельдер дегеніміз негізгі айнымалылары тек уақыт ішінде ғана өзгеретін үрдістердің математикалық модельдері. Мұндай модельдер алгебралық немесе қарапайым дифференциалды теңдеулермен сипатталады.

2.Егер үрдістің негізгі айнымалылары уақыт ішінде де, кеңістікте де өзгерсе, немесе, егер көрсетілген өзгерістер тек кеңістекте болып, бірақ өлшемі бірден көп болса, онда мұндай үрдістерді сипаттайтын модельдер үлестірілген параметрлері бар модельдер деп аталады және олар дифференциалды теңдеулердің дербес туындыларында өрнектеледі. Көбінесе, автоматты басқару немесе реттеу есептерінде математикалық модельдердің басқаша бөлінуін қолданады. Математикалық модельдердің келесідей класстарға бөлінуі де кездеседі: детерминделген немесе аналитикалық моделдер, аналитико-статикалық немесе эксперименталды-аналитикалық және эксперименталды (статикалық) математикалық модельдер. Математикалық модельдердің мұндай классификациясы модель қолданылатын объектінің табиғатымен, оның зерттеу дәрежесі мен мақсаттарымен байланысты. Детерминделген модельдер бірмағыналы болжанады, мағыналы айнымалыларының арасында кездейсоқ шамалар жоқ, бұл өз кезегінде, жүйе туралы априорлы мағлұматтардың негізінде модельдің құрылымын және оның коэффициенттерінің сандық шамасын анықтауға мүмкіндік береді.

Априорлық мағлұматтар негізінде жүйенің құрылымын бағалап, бірақ моделдің коэффициенттерінің сандық шамаларын бағалауға болмайтын модельдерді эксперименталды-аналитикалық деп атайды. Егер жүйе туралы априорлы мағлұматтар өте аз болып, жүйенің не құрылымын, не коэффициенттерінің сандық шамасын біле алмасақ, онда мұндай модельдер эксперименталды деп аталады. Мұндай модельдерді құрастыру үшін математикалық статистика аппараты қолданылады.

Математикалық модельдерді тағы параметрлік және парамертсіз деп бөледі. Параметрлері бар модельдерді параметрлі деп атайды. Практикада көбінесе параметрлік модельдердің келесі түрлерін қолданады: 1. дифференциалды теңдеу түріндегі модель;2. дискретті динамикалық модельдер. Әдетте уақытты τ = n*t деп алады, мұнда t-дискреттілік интервалы;3) регрессионлды модель у()=F(,X, )+ x(),мұнда F(,X, ) – параметрлер векторына дейінгі дәлдікпен  белгілі  функциясы, х()-кездейсоқ құрастырушы. Параметрліксіз модельдер (түйінді немесе Вольтерр қатарлары сияқты) параметрлеу арқылы моделіне келтіруге болады. Бұл үшін ортогональды функциялар жүйесінің қатарына жіктеу арқылы импульстік сипаттамаларының (ядролардың) аппроксимациясын жасау керек. Параметрлік модельдерге технологиялық үрдістердің көптеген бөлігін сипаттауға болатын дербес туындылары бас теңдеулерді жатқызуға болады (жылу өткізгіштік теңдеуі, диффузионды теңдеулер).

Параметрлік модельдердің кең ауқымды таралуының себебі келесіде: модельдің немесе басқару құрылғысының (априорлы белгісіздік шартында) параметрлерін өзгерту арқылы технологиялық үрдістің басқару жүйесіне қойылатын талаптарды қанағаттандыруға болады. Математикалық модельдер сызықты және бейсызықты модельдерге бөлінеді. Егер басқару объектісінің математикалық моделін келесі теңдеулер жүйесімен келтірсек (y,x,a)=0 ,                                                                     мұнда y- кіріс айнымалыларының векторы; х- ауытқу және басқару кіріс айнымалыларының векторы; а- параметрлер векторы, онда алдын айтылған бөлінді  операторының құрылымымен іске асады. у бойынша сызықты y(х,а) жүйенің шешімі аддитивтік пен біртектілік шарттарын қанағаттандырады

y(х₁+х₂,а)= y(х₁,а)+ y(х₂,а),              y(сх,а)=с y(х,а),    мұнда х₁,х₂- еркін сигналдар (уақыттың, кеңістік айнымалының функциялары немесе кейбір сандар); с- кез-келген айғақтық сан. y(x,a) шешімі а бойынша сызықты болады, егер

y(x,a₁+а₂)= y(x,a₁)+ y(x,a₂),      y(x, сa)=с y(x,a),      мұнда а₁ мен а₂ – математикалық модельдің еркін параметрлері.

Ағындардың типтік математикалық моделі. Идеалды ығысу моделі Бүл моделге сәйкес реакциядағы фазалар мүлдем араласпайды және барлық бөлшектердің жүйеде болу уақыты бірдей.  Моделдің математикалық сипаттамасының мынандай: бұл жердегі U – ј-ші реагенті бар фазаның қозғалыс жылдамдығы; x – кеңістік координатасы;  (2.3) – реагенттің кіруінің және шығуының айырымы, ол Cј градиентінің концентрациясымен (топтау) өрнектеледі. Минус белгісі қозғалыс жылдамдығы мен концентрация градинеті әдетте қарама қарсы бағытта болатынын көрсетеді. (2.3) теңдеуінің бастапқы шартта  Cј(x, 0) = Сој,  0 ≤ x ≤  (2.4) және шекаралық шартта     шешуі Cј(о‚τ) = Сој(τ), τ > 0мынандай түрде жазылады                                           (2.5)  бұл жердегі  – идеалды ығыстыру аймағының ұзындығы. Идеалды ығыстыру аймағына кірудегі концентрацияның кез келген өзгерісі оның шығуында уақыт арқылы шығады     (2.6) бұл жердегі  – аймақ ауданы;  – ағымның көлемді жылдамдығы;  – аймақ көлемі.Сатылы және импульсты қобалжытудағы шығу қисықтары 1 суретте көрсетілген, бұл жердегі  – өлшемсіз уақыт; τ – берілген уақыт.

                                    F(τ)                    C(τ)

                                                 θ           τ              θ          τ     

а)                                     б)                        в)   

Сурет 1 – Жауап мінездемесі

а) ағым  сұлбасы; б) сатылы қобалжу; в) импульсті қобалжу

Шығу қисықтарының түрлеріне сай идеалды ығыстыру моделіне таза кешігу түйіні сәйкес келеді.

2. Типтік математикалық модель. Идеалды араластыру моделіБүл моделге сәйкес идеалды араласу аймағына кіруде зат бірден осы ұяшықтың  бар көлеміне үлестіріледі де оның концентрациясы бірден барлық көлем бойынша біркелкіленеді. Идеалды араласу аймағындағы концентрацияны сипаттайтын теңдеу:        (2.7) бұл жердегі   V_а – идеалды араласу аймағының көлемі; V – ағымның көлемді хылдамдығы; Cој және Cj – j-ші затының кірудегі және идеалды араласу аймағындағы концентрациялары; τ – уақыт. Идеалды араласу аймағындағы және оның шығуындағы концентрацияны импульсивті қобалжыту барысында кез келген уақыт кезеңі үшін мына теңдеу арқылы есептеуге болады.        (2.8) бұл жердегі       – өлшемсіз уақыт. Сатылы қобалжыту  кезінде  .   (2.9) Сатылы және импульсты қобалжытудағы шығу қисықтары 2 суретте көрсетілген

Сурет 2 – Ағым мінездемесі

а) ағым  сұлбасы; б) сатылы қобалжу; в) импульсті қобалжу

Идеалды араласу моделіне бірінші реттік апериодикалық түйін сәйкес келетінін шығу қисықтарының түрінен байқауға болады .Қарастырылған екі кесте шеткі болып табылады: идеалды ығыстыру араластырылудың мүлдем жоғына сәйкес, идеалды араласу – оның шексіз жылдамдығына сәйкес.

2.Типтік математикалық модельдер. Диффузиялық математикалық модель. Диффузиялық үлгі. Мынау үлгі ығыстыру үрдісін бейнелеп түсіндіреді, шиеленіскен кері араластырумен, диффузия сипаттаушы формалдық заңы (5.5-сурет).

Құрастырушы жанында сондай үлгілер келесі жорамалдарды қабылданады:

1. Субстанция концентрация  өзгертуі координата толассыз функциясымен келеді (ара қашықтықтың);

2. Тап осы қимада субстанция  концентрациясы тұрақты;

3. Ағын көлемді жылдамдық және коэффициенті ұзындықпен өзгермейді және сел қимасына.

Бұларды жанында жорамалдарда үлгі теңдеумен жазылады:

- турбулентті диффузияны немесе араластыру еске алынады. Мөлшері тәжірибелі жолмен анықталады.

- турбулентті диффузия орын ауыстыру. D_L – шаманы тәжірибелі жолмен анықтау.

Бірпапаметрлік және екіпараметрлік диффузиялық моделдер болады. Бірпараметрлік диффузиялық моделі идеалды араласу мен идеалды ығыстыру арасындағы аралық жағдайына сәйкес. Бұл қозғалыс кестесінде ағым қозғалысының бағытында біраз араласу орын алады. Әдетте оны молекулярды диффузия теңдеуіне ұқсас теңдеумен сипаттайды. Мұндай моделді мінездемелейтін параметр турбулентті диффузияны есепке алатын бойлық араласу коэффициенті болып табылады.

Бірпараметрлік диффузия моделін сипаттайтын теңдеу былай жазылады:

,    (2.10)  бұл жердегі   С – j-реагентінің концентрациясы; D – бойлық араласу коэффициенті; U – j-реагенті бар ағымның сызықтық жылдамдығы;  x – аппараттың кеңістіктік координатасы;  – химиялық айналу (өзгеру)  кинетикасын сипаттайтын қосылғыш .

3-суретте ағым сұлбасы мен сатылы және импульсты қобалжытудағы шығу қисықтары көрсетілген.

Сурет 3 – Жауап мінездемесі

а) ағым  сұлбасы; б) сатылы қобалжу; в) импульсті қобалжу

Екіпараметрлік диффузиялық модель  ағымның бойлық және радиалдық бағытта араласуы есепке алынады және модель бойлық және радиалдық араласу коэффициенті арқылы көрсетіледі. Мұндай модельді құрастырғанда келесі ұйғарымдар қабылданады: 1) берілген қимадағы заттың концентрациясы тұрақты; 2) заттың концентрациясының өзгеруі арақашықтықтың үзіліссіз функциясы болып табылады; 3) радиалды және бойлық араласудың коэффициенті мен көлемді жылдамдық ағымның ұзындығы және қимасы бойынша өзгермейді.

Екіпараметрлік диффузиялық модель келесі теңдеумен сипатталады: ,                             (2 11) бұл жердегі R – түтіктің радиусы; D және D_R – бойлық және радиалды араласудың коэффициенттері.

4 Тиімді басқару есебінің жалпы қойылымы қандай?

Тиімді басқару есебінің жалпы қойылымы. Үрдісті тиімділеу қаралатын функция ең жақсы жағдайлар жиынтығы табуында болады немесе үйлесімді шарттардың тап осы үрдісте өткізулері. Ең жақсы жағдайлар жиынтығы бағалауына арналған, ықшамдау белгісі ең алдымен, қажетті таңдау. Әдеттегі, ықшамдау белгісі нақтылы шарттардан таңдайды. Мынау технологиялық белгіні бола алады (мысалы, аудару күйіндіде Сu ұстауы) немесе экономикалық белгі (өнім ең аз құны еңбек берілген өнімділігінің) және бас. ықшамдау таңдалған белгісі негізінде мақсаттық функция, оның мағынасына әсер етуші параметрдің ықшамдау белгі өзімен таныстырушы тәуелділігі құрастырылады. Функцияның мақсаттық ықшамдау мақсаты экстремум табуына апарылады. Қаралатын математикалық үлгілердің мінез - құлығының тәуелділігінде ықшамдау әртүрлі математикалық әдістері қабылданады .Мақсатты тиімдеу жалпы барысы келесідей болады:1. Критериді таңдау 2. Басқару модельін құрастыру 3.  Жүйенің шектеулерін қойу 4.  Шешімі модельі -сызықты немесе сызықсыз,  шектері Модель құрылымының тәуелділігінде тйімділеу әртүрлі әдістерде қолданылады. Оларға жатады: 1. Аналитикалық тиімділеу әдістері (аналитикалық экстремумін іздеу, Лагранж көбейткіштерінің әдісі, вариациялы әдістер) 2. Математикалық бағдарламалау (сызықты бағдарламалау, динамикалық бағдарламалау) 3.Градиентті әдістер. 4.Статистикалық әдістер (регресстік талдау) з : мұнда -берілген тұрақты коэфициент, -есептің айнымалысы. Қайда - берілген тұрақты коэффициенттер - өзгергіш мақсаттың Сызықты теңдеу өзімен үлгі теңдеулері ұсынады (полиномдар), шек қоюдың теңдік түрінде тепе-теңдікті немесе тепе-теСызықты бағдарламалау. Сызықты бағдарламалау есебінде тиімделу критериін мына түрде ұсынамыңсіздіктің теңдеуінің түрі.

         (6.2)

Сызықты бағдарламалау есебінің мақсаттарында, барлық  Х_j тәуелсіз айнымалылар  теріс емес. тәуелсіз айнымалы шамасын  6.2-теңдігі қанағаттандырады, сонымен қатар есептің қойылымында max және min критериі мәніне қатысты тәуелділігін қамтамасыздандырады, сондай-ақ сызықты бағдарламалауды тиімді шешуі жинақ болып табылады.  6.7-суреттегі геометриялық интерпретация Х₁ және Х₂ типті теңдіктер айнымалыларының қойылған шектері бойынша келесі түрдегі критериімен сипатталады .екі кезеңнен туындайды: l-кезең. Барлық тәуелсіз айнымалылар мәнінің жеке туындыларын табады, қарастырылатын нүктеде градиент бағытын анықтайды. Тұрақты мағынаны болады бойлай сызықтары үйлесімді шешім нүктесінде, т. болады. Мақсат шешімдері ұзындық бағдарламалау ықшамдаулары симплекс - әдісті келеді мына нүктеде белгі әдістерден біреумен ғанамен max . болады .- Бағдарламалау. Мақсаттар - бағдарламалау математикалық орнатып қоюы келесіде болады: функция мақсаттық экстремумі табу, түзусіздік түрі болады.- өзгергіштер теңдіктердің үлгі әртүрлі шек қоюлары салынады немесе -Мақсаттардың - бағдарламалау шешіміне арналған осы шақ әдістердің разы үлкен саны қолданылады. 1) Градиентті әдістер (градиент әдіс, өте тез түсіру әдіс, бейнелердің әдіс, Розенброк әдісі және д т . .)2) Градиентсіз әдістер (Гаус - Зейдель әдісі, сканерлеу әдісі). Ықшамдау градиентті әдістері. Бұлар әдістер іздеу үлгі сандық әдістеріне жатады. Маңыз бұларды әдістердің ең үлкен анықтамада мағыналардың - өзгергіш, берушиді ( ең азы ) мақсаттық функция өзгертуі. Мынау әдеттегі градиентті бойлай қозғалыс жанында жетеді, ортогональдыны тап осы нүктеге нұсқалы бетке.Градиент әдісін қарап шығамыз. Мына әдісте функция мақсаттық градиенті қолданылады . Функцияның мақсаттық градиент әдісінде адымдар өте тез азаю бағытында іске асырылады.Ең жақсы жағдайлар жиынтығы іздеуі екі кезеңге шығарылады:

1- кезең:- жеке туынды мағыналарды тауып алады бәріне - өзгергіштерге, қаралатын нүктеге градиент бағытын анықтайды.

2- кезең :- градиент бағытына кері бағытта адым жүзеге асады, өте тез кему бағытында е. т. мақсаттық функцияның .

Градиентті әдіс алгоритмы мүмкін жазылған келесі бейнемен:

                 (6.3)

Ең жақсы жағдайлар жиынтығына қозғалыс мінез-құлығы өте тез түсіру әдісімен келесіде болады (6.9), Көрсетілген нүктеге оның өте тез кемуінің бағыт айқын ең функциялар және анамен бастапқы нүктеде оптимизируемой градиент табылғанды соң, тап осы бағытта түсіру адымы істеледі. Егер функция мағынасы мына адым нәтижесінде азайса, онда томға кезек адым шығарылады ғой бағытта, және дәл осылай соған дейін, мына бағытта минимум табылған болып жатқанда, кейін ненің градиент қайтадан есептеледі және функцияның мақсаттық өте тез кему жаңа бағыты анықталады .