19. Усеченное нормальное распределение.

Нормальное распределение предполагает, что случайная ве­личина может быть как положительной, так и отрицательной. Однако рассматриваемые здесь случайные величины могут быть только положительными, (например, прочность древесины на сжатие, собственный вес конструкций, величина площади опирания при со­пряжении конструкций крупноэлементных зданий). В этом случае можно использовать усеченное нормальное распределение (19.1).

(19.1)

где х_min, x_max – предельные границы изменения случайной величины; с – нормирующий множитель

Если математическое ожидание много больше среднеквадра­тичного отклонения , то можно принять обычные формулы нормального распределения. Практически вполне достаточно со­блюдение условия

При анализе случайных величин, имеющих нормальное рас­пределение, часто приходится рассматривать вероятность односто­роннего выхода через некоторую границу. Для определения расчет­ных сопротивлений стали, бетона и древесины рассматривается нижняя граница (рис. 19.1) их случайных отклонений, ниже кото­рой конструкционные материалы не могут быть допущены к при­менению в несущих конструкциях. Для нагрузок устанавливается верхняя граница (рис.19.2) их случайных отклонений как наиболее опасная для строительных конструкций.

Вероятность того, что случайная величина окажется больше верхней границы, равна

(19.3)

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше нижней границы, равна:

(19.4)

Так как х_нг < а, то формулу (19.4) можно записать так:

(19.5)

Коэффициент вариации нормального распределения обычно значительно меньше 1/3, что на практике исключает возможность отрицательных значений для х.

Рис. 19.1. К определению вероятности повторения случайной величины

Рис. 19.2. К определению вероятности повторения случайной величины

Л екция №10.

20. Применение нормального закона распределения для решения задач в строительстве.

Пример 20.1. Среднее квадратичное отклонение размера длины партии стеновых панелей σ = 10 мм. Определить вероятность того, что случай­но взятая из партии панель:

1) отклонится от нормального (теоретического) размера на ±15 мм. По формуле (18.11) при = 15 мм, а = 0 получим (рис. 20.1):

2) будет иметь превышение над номиналом от 5 до 25 мм. По формуле (18.10) имеем (рис. 20.2):

Пример 20.2. Стальной трос имеет среднюю несущую способность =500 кН, при которой напряжение в материале достигает предела прочнос­ти. Изменчивость прочности материала, из которого сделан трос, оценивается среднеквадратичным отклонением σ = 20 кН. Определить вероятность разры­ва троса при нагрузке Q = 450 кН.

Имеем =500 кН, нижняя граница случайной величины

х_нг = 450 кН. Считая несущую способность троса случайной величиной, по формуле (19.3).

_{Найдем искомую вероятность (рис. 20.3).}

Пример 20.3. Нормированный резервный запас цемента в бунке­рах непрерывно действующего бетоносмесительного отделения составляет 10 т. По мере расходования этот запас регулярно пополняется. Однако в силу неко­торых случайных причин среднеквадратичное отклонение запаса от среднего значения т. Определить вероятность того, что в данный момент времени запас цемента превышает 4 т или составляет

от 8 до 14 т.

Так как загрузка бункеров и расход цемента производятся малыми пор­циями и таким образом количество резервного цемента зависит от множества мелких случайных причин, можно предположить, что распределение количе­ственной характеристики замеса цемента будет близким к нормальному.

Имеем а = 10т, т, х_нг = 14 т, х₂ = 11 т, х₁ = 8 т, по формуле (19.3) найдем вероятность (рис. 20.4)

по формуле (18.10) найдем вероятность:

При определении Р₂ учтено, что Ф(-1) = -Ф(1).

Пример 20.4. Номинальный срок службы здания составляет 50 лет. Среднеквадратичное отклонение срока службы от номинального равно 10 го­дам. Определить вероятность того, что здание прослужит от 60 до 70 лет или менее 40 лет.

Имеем: а = 50 лет, х₂ = 70 лет, х₁ = 60 лет, х_нг = 40 лет.

По формуле (18.10) получим вероятность (рис. 20.5):

По формуле (18.10) получим вероятность:

Пример 20.5. Срок службы шиферной кровли распределен по нор­мальному закону с параметрами: а = 20 лет, года.

Определить: 1) вероятность безотказной работы в течение 15 лет, 20 лет; 2) 90 %-й ресурс.

Продолжительность безотказной работы с определенной обеспеченно­стью называется ресурсом.

Вероятность безотказной работы кровли как события противоположное выходу ее из строя, равно

(20.1)

По формуле (20.1) найдем вероятность безотказной работы кровли t течение 15 лет (рис.20.6):

Рис.20.1. К определению Рис. 20.2. К определению

вероятности Р_1. вероятности Р_2.

Рис. 20.3. К определению Рис. 20.4. К определению

в ероятности Р(х≤450) вероятности Р₁ и Р₂ в примере 20.3

Рис.20.5. К определению Рис. 20.6. К определению

вероятностей срока службы Р₁ и Р₂ вероятности Р_1.

Аналогично определяется вероятность безотказной работы кровли в течение 22 лет:

2) 90 %-му ресурсу соответствует вероятность отказа

Q = 1 - 0,9 = 0,1.

Так как Q = 0,1 < 0,5, то квантиль отрицательный. Из таблицы ин­теграла вероятностей найдем, что значение

= 0,5 - Q = 0,4 соответствует квантилю = 1,28. Это значение квантиля со знаком минус подставляем в равенство (18.8):

(20.2)

где х — искомое значение ресурса с 90 %-и обеспеченностью.

Из (20.2) найдем (рис. 20.7), что х = 20-3х1,28 = 16,16 лет.

Рис. 20.7. К определению 90 %-го ресурса шиферной кровли.