Окружность. Диаметр и хорды.
Окружность – это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки О на данное расстояние.
Точка О называется центром окружности, а расстояние от О до любой точки окружности – ее радиусом.
Радиусом будем называть также любой отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Можно сказать, что окружность – это ГМТ плоскости, удаленных от точки О на данное расстояние.
Фигура, ограниченная окружностью, называется кругом.
Или: круг – это ГМТ плоскости, удаленных от точки О не более, чем на данное расстояние.
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности называется хордой этой окружности.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Очевидно, что длина диаметра равно удвоенному радиусу окружности.
|
К
Р окружность О О
В А
С
О – центр ОС – радиус, АВ – диаметр, АВ = 2ОС РК - хорда |
круг |
Очевидно, что через одну точку плоскости можно провести сколько угодно окружностей как одного радиуса, так и разных радиусов.
Через две точки тоже можно провести множество окружностей, но центры их будут лежать только на серединном перпендикуляре к отрезку, определенному данными точками. При заданном радиусе окружностей будет только две.
А
|
|
|
S
О
|
Q О О О О О
В О А О
P О
R О
А О С О
D О
|
Через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой другими словами, через вершины треугольника АВС), можно провести окружность, если существует такая точка О, которая одинаково удалена от точек А, В, С. Докажем, что такая точка существует и притом только одна. Точка, равноудаленная от точек А и С, должна |
лежать на перпендикуляре SD, проведенном через середину отрезка АС. Аналогично точка, равноудаленная от точек В и С, должна лежать на перпендикуляре QR, проведенном через середину отрезка ВС.
Значит, если существует точка, одинаково удаленная от точек А, В, С, то она должна лежать одновременно и на SD и на QR, т.е. должна совпадать с точкой их пересечения О. Прямые SD и QR всегда пересекаются, т.к. они перпендикулярны к пересекающимся прямым АС и ВС.
Т.о. точка О одинаково удалена от точек А, В, С. Если примем эту точку за центр, а отрезок ОА (ОВ, ОС) за радиус, то окружность пройдет через точки А, В, С.
Так как прямые SD и QR могут пересечься только в одной точке, то центр такой окружности может быть только один и длина ее радиуса определяется однозначно. Значит, искомая окружность – единственная.
Замечание. Если бы три точки лежали на одной прямой, то перпендикуляры SD и QR были бы параллельны и, значит, не могли бы пересечься. Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, нельзя провести окружность.
Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные через их середины, пересекаются в одной точке.
Действительно, точка О, находясь на одинаковом расстоянии от точек А и В, должна также лежать на перпендикуляре ОР, проведенном к стороне АВ через ее середину.
Т е о р е м а 2. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
А О
О О а
А1 О
|
Проведем через центр окружности – точку О − произвольную прямую а. Пусть А – некоторая точка окружности. Если А лежит на прямой а, то в результате симметрии относительно а точка А останется на месте. Если же А не принадлежит прямой а, то в результате симметрии она перейдет в некоторую точку А1, а отрезок ОА в отрезок ОА1. Согласно свойству симметрии ОА = ОА1, а значит, и точка А1 принадлежит окружности. |
Но при этой симметрии точка А1 перейдет в точку А. Т.о. при симметрии относительно прямой а точки А и А1 поменяются местами. Из этого следует, что вся окружность перейдет сама в себя.
Т е о р е м а 3. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.
|
А О
. О
К О D О С О
В О
|
Рассмотрим симметрию относительно диаметра АВ. При этой симметрии точки С и D симметричны. Поэтому КС = КD. Точка В при симметрии относительно АВ остается на месте. В силу симметрии окружности дуга СВ переходит в дугу BD, а дуга BD – в дугу СВ. Значит, эти дуги равны. Аналогично можно сказать и о равенстве дуг АС и АD. В О В О А О
|
О б р а т н ы е т е о р е м ы.