Окружность. Касательная к окружности.

Окружность – это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки О на данное расстояние.

Точка О называется центром окружности, а расстояние от О до любой точки окружности – ее радиусом.

Радиусом будем называть также любой отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Можно сказать, что окружность – это ГМТ плоскости, удаленных от точки О на данное расстояние.

Фигура, ограниченная окружностью, называется кругом.

Или: круг – это ГМТ плоскости, удаленных от точки О не более, чем на данное расстояние.

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности называется хордой этой окружности.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Очевидно, что длина диаметра равно удвоенному радиусу окружности.

К Р окружность О О В А С О – центр ОС – радиус, АВ – диаметр, АВ = 2ОС, РК – хорда

круг

Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности. Прямая и окружность могут находиться только в трех относительных положениях:

1) Расстояние центра окружности от прямой (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из центра на прямую) больше радиуса. Тогда точка С прямой удалена от центра больше, чем на радиус, и потому лежит вне круга, как и все остальные точки прямой (наклонные длиннее перпендикуляра). Т.о. прямая не имеет общих точек с окружностью или прямая и окружность не пересекаются.

2) Расстояние центра окружности от прямой меньше радиуса. В этом случае точка С прямой лежит внутри круга, и тогда прямая пересекается с окружностью в двух точках. Эта прямая называется секущей.

3) Расстояние центра окружности от прямой равно радиусу. Тогда точка С принадлежит и прямой, и окружности, все остальные точки прямой, будучи удалены от центра более, чем точка С, лежат вне круга. Значит, в этом случае прямая и окружность имеют только одну общую точку – основание перпендикуляра, опущенного из центра на прямую.

С О О

С О О

С О О

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности; общая точка называется точкой касания.

В следующей теореме объединим два взаимно обратных утверждения:

Т е о р е м а 1 ( о характерном свойстве касательной к окружности)

1) Свойство касательной: если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2) Признак касательной: прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная ее радиусу, проведенному в эту точку, является касательной к окружности.

Доказательство.

О О В С p А

1) Пусть р – касательная к окружности с центром О, А – точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р – касательная. Т.о. прямая р перпендикулярна к радиусу ОА.

2) Точка А, как конец радиуса, лежащий на окружности, принадлежит этой окружности; в то же время она принадлежит и прямой р. Значит, эта точка общая у окружности и прямой. Все остальные точки прямой р, как В, С и другие, отстоят от центра О больше, чем на радиус, так как ОВ, ОС и т.д. – наклонные, которые длиннее перпендикуляра ОА. Значит, у прямой р есть только одна точка А, общая с окружностью, что означает, что прямая р – касательная.

Отметим еще один факт, имеющий практическое значение:

Т е о р е м а 2. Если касательная параллельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Е

М

D

С О

О О

В

А

.

Доказательство.

Пусть прямая АВ касается окружности в точ- ке М и параллельна хорде CD.

Требуется доказать, что СМ = МD.

Проведем через точку касания диаметр МЕ. Получим, что МЕ АВ и, следовательно, МЕ CD (так как АВ и CD параллельны).

Как известно, диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемую ею дугу пополам. Поэтому СМ = МD, ч.т.д.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С.

В О О А С О

О О Т е о р е м а 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности. Действительно, по свойству касательной АВО = АСО = = 900, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Эти треугольники имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС (радиусы окружности). Таким образом, треугольники равны. Следовательно, АВ = АС и ВАО = САО, что и требовалось доказать.

На основании рассмотренных теорем можно решить задачу на построении касательной к окружности, проходящей через данную точку. Рассмотрим два случая:

1) Данная точка лежит на окружности. Тогда через эту точку проводим радиус и через конец его строим перпендикуляр к этому радиусу.

2) Данная точка лежит вне окружности.

В . О О О1 О А С О

Соединим точки А и О. Разделим отрезок АО пополам и обозначим эту середину О1. Проведем окружность с центром в точке О1 и радиусом ОО1. Через точки В и С, в которых построенная окружность пересекается с данной, проводим прямые АВ и АС. Эти прямые и будут касательными, т.к. углы ОВА и ОСА – прямые, как опирающиеся на диаметр.