Вписанная окружность

Говорят, что многоугольник описан около окружности, если все его стороны касаются данной окружности (см. рис.). Тогда об этой окружности говорят, что она вписана в данный многоугольник.

Так как расстояние от центра окружности, вписанной в многоугольник, до его сторон равно радиусу окружности, то ее центр равноудален от всех сторон этого многоугольника. Значит, в многоугольник можно вписать окружность, если найдется точка, равноудаленная от всех его сторон. Она и будет центром вписанной окружности.

Следовательно, в многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы всех углов многоугольника имеют общую точку. Эта точка и будет центром вписанной окружности.

Покажем, что в любой треугольник можно вписать окружность.

С О

S О

Т е о р е м а 1. В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

А О А О О О р О q О В О

Пусть дан треугольник АВС. Проведем биссектрисы p и q его углов А и В. Они пересекутся в некоторой точке О. Так как Оp, то она равноудалена от сторон АВ и АС, а так как О q, то она равноудалена от сторон ВС и АВ. Поэтому точка О равноудалена от всех сторон треугольника АВС.

Т.о. в треугольник АВС можно вписать окружность с центром О. Радиусом этой окружности будет расстояние от точки О до стороны треугольника.

Другой вписанной окружности не может быть, так как две биссектрисы пересекаются только в одной точке, а из одной точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр.

Следствие. Биссектрисы трех углов треугольника пересекаются в одной точке.

Вневписанные окружности. Вневписанными окружностями называются окружности, которые касаются одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Они лежат в н е треугольника, вследствие чего и получили свое название.

Таких окружностей для всякого треугольника может быть три. Для построения вневписанной окружности проводят биссектрисы двух внешних углов треугольника, получают центр окружности. Чтобы найти радиус, опускают перпендикуляр из найденного центра на продолжение сторон или на соответствующую сторону треугольника.

В О А О С О О О r р О q О

Таких окружностей для всякого треугольника может быть три. Для построения вневписанной окружности проводят биссектрисы двух внешних углов треугольника, получают центр окружности. Чтобы найти радиус, опускают перпендикуляр из найденного центра на продолжение сторон или на соответствующую сторону треугольника.

В отличие от треугольника не в каждый четырехугольник можно вписать окружность. Например, для параллелограмма это можно сделать лишь тогда, когда параллелограмм является ромбом, т.к. только в ромбе диагонали углов проходят через одну точку.

Сформулируем и докажем утверждения, устанавливающие свойство четырехугольника, описанного около окружности, и условие возможности вписания в четырехугольник окружности.

В О

Т е о р е м а 2. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

А О . О С О А1 О В1 О С 1 О c О b О a О a О b О c О D О d О d О D1 О

Для доказательства воспользуемся теоремой о равенстве отрезков касательных, проведенных из одной точки. По этой теореме АА1 = AD1 = а, ВА1 = ВВ1 = b, СВ1 = СС1 = с, DC1 = DD1 = d. Тогда АВ + CD = а + b + c + d и BC + AD = b + c + a + d. Значит, АВ + CD = BC + AD.

Т е о р е м а 3. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно описать окружность.

Доказательство.

А О В О О С О D О Рис. 1

В О А О О С О D О С 1 О D1 О Рис. 2

В О А О О С О D О С 1 О D1 О Рис.3

Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD АВ + CD = BC + AD.

Проведем биссектрисы углов А и В. Точка их пересечения О равноудалена от сторон АВ, ВС и AD, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся этих сторон (рис. 1, 2, 3). При этом четвертая сторона CD может оказаться в одном из трех положений: касаться окружности, проходить вне круга, ограниченного построенной окружностью, и пересекать окружность.

Предположим, что сторона CD проходит вне круга (рис. 2). Проведем касательную C₁D₁, параллельную стороне CD. Так как АВC₁D₁ – описанный четырехугольник, то по свойству его сторон АВ + C₁D₁ = BC₁ + AD₁. Но BC₁ = BC − СC₁, AD₁ = AD − DD₁, поэтому получаем

АВ + C₁D₁ = BC − СC₁ + AD − DD₁.

Так как по условию АВ = BC + AD – CD, то предыдущее равенство можно записать в виде

BC + AD – CD + C₁D₁ = BC − СC₁ + AD − DD₁,

откуда следует, что CD = СC₁ + DD₁ + C₁D₁, т.е. в четырехугольнике С₁СDD₁ одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно.

Предположим теперь, что сторона CD пересекает окружность (рис. 3).

Снова проведем касательную C₁D₁, параллельную стороне CD. Рассуждая аналогично, получим:

АВ + C₁D₁ = BC₁ + AD₁, BC₁ = BC + СC₁, AD₁ = AD + DD₁,

BC + AD – CD + C₁D₁ = BC + СC₁ + AD + DD₁,

CD = СC₁ + DD₁ + C₁D₁.

Также как и в предыдущем случае получаем, что и это предположение неверно.

Таким образом, единственно возможное расположение стороны CD – это касание с окружностью. Следовательно, четырехугольник ABCD вписан в окружность, что и требовалось доказать.

Из данной теоремы следует:

1) из всех параллелограммов можно вписать окружность только в ромб и в квадрат;

2) в трапецию можно вписать окружность только тогда, когда сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.