2. Вычисление выборочной дисперсии

Как известно из теории вероятностей, дисперсия D(х), характеризующая отклонение случайной величины от среднего, т.е. математического ожидания М(х), определяется формулой

D(x) = , (11.10)

где N ‑ число значений на профиле. В геофизической практике эта формула используется для вычисления средней квадратической ошибки наблюдений. Вычисление же дисперсии по профилю дает результаты, которые не представляют интереса ни для обработки, ни для интерпретации аномалий.

Иная будет результативность, если D(х) вычислять по участкам профиля, при N не более 11. Если результат отнести к средней точке участка, а при вычислении участок сдвигать каждый раз на один шаг, то получим по профилю график выборочной дисперсии. По этому графику можно выявлять аномальные поля малой интенсивности. Формулу (11.10) для вычисления дисперсии целесообразно несколько преобразовать. При возведении разностей в квадрат получим удвоенное произведение, которое после суммирования приводится к виду квадрата второго члена. Таким образом, вместо формулы (11.10) имеем

D(x)= . (11.11)

Эта формула удобна для программирования. Ее применение дает хорошие результаты. Что касается величины N, то следует исходить из условия: минимум 2-3 результата должны получаться по аномалиям выделяемого поля.

Выбор оптимальной трансформации должен основываться на знании статистических закономерностей явлений, отражаемых в суммарном магнитном поле. Следует учитывать, что полученные выводы распространяются не на отдельные намагниченные тела, а на статистические совокупности аномальных тел. Они являются результатом от реализации случайной функции.

11..3. Автокорреляция

Автокорреляция решает задачу выявления зависимости магнитных аномалий Z(x) от значений Z(x+), т.е. значений, сдвинутых на величину . Меру зависимости выражает интеграл

R_xх()= , 11.12)

где L ‑ длина профиля со значениями аномалий.

Интеграл в формуле (11.9) является интегралом типа свертки, поэтому исследования возможны в области спектральных представлений, т. е. применима более абстрактная математика.

Автокорреляционная функция характеризует тесноту статистической связи между значениями магнитного поля по направлению х. Наиболее удобно ее представлять нормированной автокорреляционной функцией (АКФ), которая является коэффициентом корреляции R(τ), описываемым отношением

R_х(τ) = R_хх(τ) / R_хх(0).

Измеренные значения элементов земного магнетизма подчиняются законам реализации стационарной случайной функции, у которой математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов τ.

На рис. 11.1 показан порядок перехода от исходной информационной функции Z(х) (рис.11.1,а) к автокорреляционной нормированной функции (рис. 11.1,в). Чем ближе точки х₁ и х₂, тем ближе и значения функции Z(х), с увеличением интервала τ связь убывает.

Функция R_x() имеет характерные точки при =0 (значение R₀), при абсциссе, когда R_x() = l/3 R₀ (называется радиусом корреляции), и в точке, где R_x()= 0 (радиус нулевой корреляции). В практических случаях считают, что корреляция исчезает при R_x(τ) = 0,3. Форма кривой АКФ и радиус корреляции R позволяют судить о степени изменчивости исходной функции при изменении х. При слабой корреляции кривая АКФ изменяется медленно. При наличии периодичности в исходной функции Z(х) кривая АКФ становится знакопеременной.

Автокорреляционная функция симметрична относительно τ = 0, она является четной функцией. Ее изображают только при положительных значениях аргумента. Переход через нуль значений АКФ свидетельствует о наличии скрытой периодичности у изучаемой функции с периодом Т = 4 х₀, где х₀ – абсцисса перехода функции через нуль (рис. 11.1,в).

0,25Т 0,5Т

а в

Рис. 11.1. К определению корреляционной функции:

а – порядок вычисления АКФ, в – нормированная АКФ