10.3. Вычисление значений н по значениям z

Задача определения Н в математике решается в виде преобразования Гильберта. Функции Z и Н рассматриваются в этом случае в качестве вещественной и мнимой части функции комплексной переменной. В магниторазведке при решении задачи математическая трактовка выполняется на инженерном уровне. Значения Н используются при исследованиях магнитного поля, в частности при интерпретации аномалий. Современных приборов для измерений Н нет. Только в учебниках и справочниках 60-летней давности можно найти описание приборов различных конструкций и методик работы с ними.

Рассмотрим теоретические связи двух составляющих напряженности магнитного поля. Пусть по прямолинейному профилю известны значения составляющей Z. Геологический разрез на территории исследования представляем совокупностью тонких пластов с латеральной изменчивостью их намагниченности. У поверхности Земли геологические образования заменяем слоем породы с магнитной плотностью σ, и тогда дифференциал магнитного момента выразится формулой

dm = σ dx,

а поверхностную плотность можно определить из наблюденных значений

σ = .

В точке Р имеем

dH = dх.

При произвольно взятом начале координат

dH = ,

где  - абсцисса точки Р относительно начала координат. Совмещая точку Р с началом координат и принимая h=0, получим

H = (10.5)

В этом интеграле при х=0 появляется бесконечность. В математике такие интегралы называются несобственными или сингулярными, ядро интеграла носит имя математика Коши.

Для вычисления интеграла выделим область от -Δx до Δx, в которой обнаруживается сингулярность и две области: от -∙ до -Δx и от +Δx до + . Таким образом,

H = (10.6)

Для вычисления интеграла в пределах от -Δx до Δx предполагаем, что Z= К х, где К – коэффициент, подлежащий определению. Итак,

На концах интервала (+∆х) и (-∆х) имеем Z(∆х) и Z(-∆х), поэтому после подстановок для вычисления сингулярного интеграла получаем формулу

(10.7)

Вычисление интегралов от - до -∆х и от ∆х до  производится численными методами, т.е. интервалы разбиваются на небольшие промежутки, на каждом из которых для Z допустимо взять среднее значение и вынести его из-под интеграла.

Если обозначить и принять С = 0.314, то

.

Обычно при расчетах используются ∆х, равные 1, 0.5 или 0.25 см. Если начальное значение х=1, то последующие фильтровые значения будут такими: 1.37, 1.87, 2.56, 3.51, 4.80 и т.д. Окончательная формула имеет следующий вид:

(10.8)

Данная трансформация является очень полезной при интерпретации магнитных аномалий. Экспресс-вычисления можно вести в полевых условиях с помощью специальной палетки, учитывающей закон изменения расстояний от начала координат для считывания входной информации. Компьютерная обработка ведется по программам, заимствованным чаще всего из сейсморазведки. Теоретически аналогично решается задача для трехмерного поля. Для вычисления разработана и построена круговая палетка.