Глава 10 трансформации аномалий

Под трансформацией аномального поля понимаются некоторые линейные преобразования, производимые с исходной функцией с целью извлечения из нее геологической информации. При решении определенной геологической задачи из множества факторов, влияющих на суммарный интерференционный характер магнитного поля, выделяется аномалия, соответствующая действию аномального источника. Выбранный тип аномалии считается полезным сигналом, а любые другие осложнения поля – помехами. Помехи могут отличаться одна от другой по интенсивности и форме, что обусловлено различными причинами (особенностями геологического разреза, погрешностями наблюдений, погрешностями вычислений). Задачу отделения полезного сигнала от помехи можно назвать задачей разделения полей, относящейся к методам цифровой фильтрации. Этот процесс в математике объединяется интегральным преобразованием в виде интеграла свертки, который связывает уравнением вход – выход в частотном виде.

Задача разделения полей является процессом частотной фильтрации с заданными параметрами частотного фильтра. Обозначим функцию как входной сигнал, представляющий собой сумму различных магнитных возмущений:

.

Заметим, что под подразумевается любой элемент земного магнетизма. Интеграл свертки является линейным преобразованием, который можно записать как

, (10.1)

где – трансформированное значение, – ядро интегрального преобразования. Так как амплитудные спектры полезного сигнала и помехи всегда отличаются по форме, то можно найти ядро преобразования, которое усилит полезный сигнал и погасит помеху. Рассмотрим основные трансформирующие преобразования магнитных полей.

10.1. Сглаживание аномалий

Значения магнитного поля по профилю являются дискретными значениями аналитической функции. Пилообразность графика аномалий, построенного по наблюденным значениям, обусловлена погрешностями наблюдений. Для уменьшения их и повышения точности результатов график следует подвергать сглаживанию. Вместо графического выполнения операции, которую геофизик делает на глаз, целесообразно применять аналитическое сглаживание, обеспечивающее получение результатов, не зависящих от субъективных качеств оператора. Рассмотрим один из способов, который обеспечивает оптимальность процедуры.

Пусть по прямолинейному профилю при постоянном шаге проведены наблюдения. Возьмем их значения в пяти точках: i-2, i-1, 0, i+1 и i+2. По значениям аномалий в этих точках подберем параболу

у = a₀ + a₁i + a₂i.

Для этого по способу наименьших квадратов определим параметры а₀, а₁ и а₂. Значение функции при i=0, т.е. a₀, принимаем за сглаженное. В математическом смысле это значение является оптимальным.

Для подбора параболы, значения которой минимально отклоняются от наблюденных, используется условие

) = min.

На основании производных , и получаем три уравнения и, решая их, выражаем коэффициенты – его параметры через наблюденные значения аномалий. После решения системы уравнений получим, что сглаженное значение Z_i можно вычислять по формуле

_. (10.2)

Сглаживание легко можно проводить экспресс-методом. Если наблюденные значения аномалии выписаны столбцом, то для вычислений удобно будет вырезать на листе бумаги окно, в котором вмещается 5 значений, и по ним для среднего пикета находим сглаженное значение. Далее, смещая окно на одно значение аномалии, получим сглаженное значение для соседнего пикета и т. д. Вычисления можно выполнять и в уме. Полезно заметить, что по всему профилю сумма = 0. Это свойство следует учитывать при графическом сглаживании.

Сглаживание ‑ операция произвольная. Для сглаживания значений магнитного поля в литературе приводятся оптимальные формулы, которые используют от 3 до 11 значений по профилю. Известны также различные формулы с весовыми коэффициентами, выведенные при постановке специальных условий.

Пусть даны результаты измерений по магнитометру в точках: A, B, C, D, E, F. Сглаженное значение для точки В по трехточечной формуле с одинаковыми весовыми коэффициентами будет иметь вид

.

Если усилить весовым коэффициентом одно из значений, то получим новую формулу для сглаживания:

.

Для сравнения приведем формулу сглаживания по пяти точкам с заданными весами:

.

Эти формулы широко применяются за рубежом / /. Однако представленные формулы не отражают свойств оптимальности.