Модуль 3.

Лекция 20.Случайные величины и функции распределения

Раздел 20.1.Понятие случайной величины.

Понятие случайной величины

Функция распределения случайной величины, ее свойства

Раздел 20.2.Случайные величины с дискретным распределением

Понятие случайной величины с дискретным распределением

Закон распределения дискретной случайной величины.

Примеры дискретных распределений

Раздел 20.3. Случайные величины с абсолютно непрерывным распределением

Понятие случайной величины с абсолютно непрерывным распределением

Закон распределения абсолютно непрерывной случайной величины. Плотность, ее свойства

Примеры абсолютно непрерывных распределений

Раздел 20.4.Понятие случайного вектора.

Понятие случайного вектора

Независимые случайные величины

Совместное распределение случайных величин

Программные положения

Понятие случайной величины является основным для теории вероятностей и математической статистики. Лекция содержит информацию об основных классах случайных величин – с дискретным и абсолютно непрерывным законами распределения, а также примеры основных табличных распределений. Также рассматривается вопрос о совместном распределении случайных величин и определение независимости.

Методические рекомендации

Перед изучением материала лекции вспомните определение функции и ее графика. Также вспомните определение независимых событий. Обратите внимание на формальное определение случайной величины. Заметьте, что для того, чтобы охарактеризовать случайную величину необходимо задать ее закон распределения и функцию распределения. Уделите особое внимание функции распределения и ее свойствам, поскольку именно в терминах этой функции формулируются задачи математической статистики. Обратите внимание на определение независимости случайных величин. Оно понадобится при изучении лекции 26, посвященной корреляционному анализу

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое функция, ее область определения, множество значений?

2. Что такое пространство элементарных событий?

3. Что такое сигма-алгебра событий?

4. Дайте определение понятия случайной величины

5. Что такое случайные величины с дискретным и абсолютно непрерывным распределением?

6. Дайте определение понятию функции распределения (вероятностей) случайной величины и закона распределения случайной величины

7. Что такое плотность распределения? Каковы ее свойства?

8. Приведите примеры дискретных распределений

9. Приведите примеры абсолютно непрерывных распределений

10. Что такое случайный вектор (многомерная случайная величина) (дайте определение для двумерного случая)?

11. Определите совместное распределение 2 случайных величин

12. Какие случайные величины называются независимыми?

13. Х – случайная величина, равная сумме очков на верхних гранях двух одновременно брошенных кубиков. Построить закон распределения, функцию распределения с графиком, найти мат.ожидание, дисперсию, моменты до 3 порядка

14. Дана плотность распределения случайной величины ρ(х) =

Построить закон распределения, функцию распределения с графиком, найти мат.ожидание, дисперсию, моменты до 3 порядка

15. Построить график плотности и функции распределения, найти параметры нормального и стандартного нормального распределений

16. Дана плотность распределения ρ(х) =

Воспользовавшись свойствами плотности, найти значение γ, ЕХ и DX

17. Задан совместный закон распределения случайных величин Х и Y.

X\Y	10	20	30
50	0,15	0,30	0,15
100	0,10	0,05	0,25

Найти:

1. условный закон распределения Y при условии, что Х=100

2. условный закон распределения Х при условии, что Y=20

3. являются ли независимыми случайные величины X и Y?

4) построить законы распределения случайных величин Х и Y, найти ковариацию и коэффициент корреляции X и Y

18. Законы распределения числа очков, выбиваемых каждым из двух стрелков (Х и Y соответственно) представлены в таблицах:

Х	8	9	10
р	0,1	0,3	0,6

Y	8	9	10
p	0,2	0,3	0,5

Описать закон распределения суммы очков, выбиваемых обоими стрелками