Основные понятия науки логики
|
|
Традиционная логика
Дедуктивное и индуктивное рассуждение в традиционной логике
Индукция
Дедукция
Силлогистика
Силлогизм
Силлогистические теории
Классическая математическая логика
Аппарат математической логики
Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. «Предмет современной математической логики разнообразен.» Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Согласно определению Н. И. Кондакова, «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков).» Это определение соответствует определению С. К. Клини: математическая логика — это «логика, развиваемая с помощью математических методов».Также А. А. Марков определяет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы». Все эти определения не противоречат, а дополняют друг друга.
Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.
Важную
роль в математической логике играют
понятия дедуктивной
теории и исчисления.
Исчислением называется совокупность
правил вывода, позволяющих считать
некоторые формулы выводимыми. Правила
вывода подразделяются на два класса.
Одни из них непосредственно квалифицируют
некоторые формулы как выводимые. Такие
правила вывода принято называть
аксиомами. Другие же позволяют считать
выводимыми формулы A,
синтаксически связанные некоторым
заранее определённым способом с конечными
наборами
выводимых
формул. Широко применяемым правилом
второго типа является правило modus
ponens: если выводимы
формулы A и 
,
то выводима и формула B.
Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.
Математическая логика изучает логические связи и отношения лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода с использованием языка математики.
Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат К. Гёделя о том, что так называемое классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка. С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.
Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.
Пропозициональная логика
(Пропозициональная логика)
Логика предикатов
Логика кванторов
Логика первого порядка
Логика второго порядка
Исчисления и логические методы
Разрешимость,
Семантическое древо
Таблицы Бета
Аксиоматика
Натуральный вывод
Секвенция (логика)
Логическая семантика
Алгебраические семантики
Теоретико-множественные семантики
Реляционные семантики возможных миров
Проблема содержательности семантик логических систем
Категорная семантика
Теория семантических категорий
Законы логики
Закон тождества
Закон исключённого третьего
Закон противоречия
Закон достаточного основания
Законы де Моргана
Законы дедуктивных умозаключений
Закон Клавия
Законы деления
Теория моделей
Раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работахТарского, Мальцева и Робинсона.
Теория доказательств
Это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантическойтеории моделей. Вместе с теорией моделей, аксиоматической теорией множеств и теорией вычислений, теория доказательств является одним из так называемых «четырёх столпов» основ математики.
Теории логического вывода
Теории логического вывода (теория логического вывода)
Теории следования (теория следования)
Теории импликаций (теория импликаций)
Материальная импликация
Неклассические логики
Логики с неклассическим пониманием следования
Релевантная логика
Паранепротиворечивая логика
Немонотонные логики
Динамическая логика
Логики, отменяющие закон исключённого третьего
Интуиционистская логика
Конструктивная логика
Логика квантовой механики (Квантовая логика)
Логики, меняющие таблицы истинности
Многозначная логика
Двузначная логика
Трёхзначная логика
Логики, расширяющие состав высказывания
Логика вопросов
Логика оценок
Логика норм
Модальная логика
Модальность
Алетические модальности (алетическая модальность, алетическая модальная логика, алетические модальные логики)
Деонтические модальности (деонтическая модальность, деонтическая модальная логика, деонтические модальные логики)
Эпистемологические модальности (эпистемологическая модальность, эпистемологическая модальная логика, эпистемологические модальные логики)
Временные модальности (временная модальность, временные модальные логики, временная модальная логика)
Строгая импликация
Материальная импликация