Основні відомості

Формалізації будь-якого процесу, завдання чи задачі передує вивчення структури елементів, з яких складається цей процес, в результаті чого з’являється так званий змістовний опис процесу. Той, у свою чергу, є вхідним матеріалом для створення формалізованої схеми процесу.

Формалізована схема процесу/задачі має включати в себе:

-  характеристики процесу/задачі;

-   систему параметрів, що впливають на сам процес/задачу;

-   визначені залежності між характеристиками та параметрами процесу/задачі з урахуванням усіх потрібних факторів;

-   систематизовану й уточнену сукупність усіх вхідних даних, відомих параметрів процесу/задачі та початкових умов.

Після формалізації провадиться запис в аналітичній формі всіх співвідношень задачі, які ще не були відображені, викладаються логічні умови та описуються дії по реалізації процесу розв’язання.

Поняття алгоритму

Організована сукупність дій, необхідних для розв’язання поставленої задачі, називається алгоритмом.

Ефективним методом побудови алгоритмів є метод покрокової деталізації, при якому завдання розбивається на кілька простих підзадач (модулів), і для кожного модуля створюється свій власний алгоритм.

Здебільшого модуль реалізує певний процес обробки інформації і застосовується як для окремого використання, так і для включення модуля в інші алгоритми. Застосування модульності при створенні алгоритмів дозволяє розбити великі задачі на незалежні блоки (модулі), усуває повторення стандартних дій і значно прискорює процес відлагодження алгоритму в цілому. Найчастіше алгоритм складається з головного модуля, який містить декілька інших модулів, створених раніше. Використовуючи модулі як складові великої конструкції, можна створювати алгоритми будь-якого ступеня складності, і при цьому не втрачати контролю за функціюванням алгоритму всієї задачі. Такий метод називається структурним проектуванням алгоритму «зверху донизу», є універсальним і може використовуватися як для обчислювальних процесів (так зване системне програмування), так і для процесів реального життя.

В обчислювальних процесах алгоритм є послідовністю команд (директив або інструкцій), що визначає дії, які треба виконати для досягнення поставленої мети: розв’язання певної задачі. Властивості алгоритму

Алгоритм повинен мати такі властивості:

1. Дискретність — процес розв’язку розбивається на кроки. Кожен крок — це одна дія або підпорядкований алгоритм (метод покрокової деталізації). Таким чином полегшується процес знайдення помилок і редагування алгоритму.

2. Визначеність (точність) — кожен крок алгоритму має бути однозначно описаною дією і не містити двозначностей.

3. Зрозумілість — усі дії, включені до алгоритму, мають бути у межах компетенції виконавця алгоритму.

4. Універсальність (масовість) — алгоритм має виконуватися при будь-яких значеннях вхідних даний та початкових умов.

5. Скінченність — алгоритм має бути реалізований за конечне число кроків і повинен користуватися конечним набором вхідних значень.

6. Результативність — алгоритм має привести до отримання результату.

Якщо алгоритму присутні перелічені вище властивості, то його виконання провадиться формально, тобто точно за схемою алгоритму, без будь-яких втручань у послідовність дій та у самі дії.

Cпособи опису алгоритмів

Алгоритми можуть бути описані:

- усно;

- словесно (у вигляді плану дій — розпоряджень);

- графічно (у вигляді блок-схем).

Найчастіше алгоритми обчислювальних процесів подаються у вигляді блок-схем, де кожний крок алгоритму представлений спеціальним блоком, який умовно показує дію, яку треба виконати. Сама дія записується всередину блоку і є конкретною для даного алгоритму.

Блоки поєднуються між собою лініями потоку інформації — лініями зі стрілками, при цьому, якщо інформація передається по блоках зверху вниз або праворуч, стрілки не проставляються. Якщо треба поєднати один блок з іншим, рекомендується не перетинати лінії потоку, а використовувати поєднувач блоків. Для використання поєднувача блоки мають бути попередньо пронумеровані, а сам поєднувач має містити цифру — номер блоку, з яким відбувається поєднання або номер блоку, з якого відбувається поєднання.

Математична модель — це система математичних співвідношень — формул, рівнянь, нерівностей і т.д., що відображають істотні властивості об'єкту або явища.

Найбільш ефективно математичну модель можна реалізувати на комп'ютері у вигляді алгоритмічної моделі — так званого "обчислювального експерименту".

Звичайно, результати обчислювального експерименту можуть виявитися не відповідними дійсності, якщо в моделі не будуть враховані якісь важливі сторони дійсності.

Отже, створюючи математичну модель для розв’язання задачі, потрібно:

1.виділити припущення, на яких ґрунтується математична модель;

2.визначити, що вважати початковими даними і результатами;

3.записати математичні співвідношення, зв’язуючи результати з початковими даними.

При побудові математичних моделей не завжди вдається знайти формули, що явно виражають шукані величини через початкові дані. В таких випадках використовуються математичні методи, що дозволяють дати результати того або іншого стуеня точності.

Існує не тільки математичне моделювання якого-небудь явища, але й візуально-натурне моделювання, яке забезпечується за рахунок відображення цих явищ засобами машинної графіки, тобто перед дослідником демонструється своєрідний "комп'ютерний мультфільм", що знімається в реальному часі. Наочність тут дуже висока.

Математична модель взагалі – це математичний опис якого-небудь процесу. Таким чином, правильність дії моделі і правильність отриманих з її допомогою висновків забезпечується настільки точно, наскільки вірно створена модель.

З другого боку, правильність дії моделі визначається тим, наскільки точно рівняння і нерівності описують суть процесу і наскільки вірний математичний метод створення такої моделі.

Для використання ЕОМ при розв’язанні прикладних задач перш за все вони повинні бути "перекладені" на формальну математичну мову, тобто для реального об'єкту, процесу або системи та повинна бути побудована математична модель.

Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкту, процесу або системи, його параметри, внутрішні і зовнішні зв'язки

Для побудови математичної моделі необхідно:

- ретельно проаналізувати реальний об'єкт або процес;

- виділити його найістотніші риси і властивості;

- визначити змінні, тобто параметри, значення яких впливають на основні риси і властивості об'єкту;

- описати залежність основних властивостей об'єкту, процесу або системи від значення змінних за допомогою логіко-математичних співвідношень (рівняння, нерівності, логіко-математичні конструкції);

- виділити внутрішні зв'язки об'єкту, процесу або системи за допомогою обмежень, рівнянь, рівності, нерівностей, логіко-математичних конструкцій;

- визначити зовнішні зв'язки і описати їх за допомогою обмежень, рівнянь, нерівностей, логіко-математичних конструкцій.

Математичне моделювання, окрім дослідження об'єкту, процесу або системи і складання їх математичного опису, також включає:

- побудова алгоритму, що моделює поведінку об'єкту, процесу або системи;

- перевірка адекватності моделі і об'єкту, процесу або системи на основі обчислювального і натурного експерименту;

- коректування моделі;

Математичний опис досліджуваних процесів і систем залежить від:

- природи реального процесу або системи і складається на основі законів фізики, хімії, механіки, термодинаміки, гідродинаміки, електротехніки, теорії пластичності, теорії пружності і т.д;

- необхідної достовірності і точності вивчення і дослідження реальних процесів і систем.

Математична модель ніколи повністю не тотожна даному об'єкту, процесу або системі. Заснована на спрощенні, ідеалізації вона є наближеним описом об'єкту. Тому результати, отримані при аналізі моделі, носять наближений характер. Їх точність визначається ступенем адекватності (відповідності) моделі і об'єкту.

В іншому випадку модель прямокутника доведеться відкинути і замінити моделлю чотирикутника загального вигляду. При більш високій вимозі до точності може виникнути необхідність звернутися до уточнення моделі ще далі, наприклад, врахувати те, що заокруглюють кути столу

За допомогою цього простого прикладу було показано, що математична модель не визначається однозначно досліджуваним об'єктом, процесом або системою. Для одного і того ж столу ми можемо прийняти або модель прямокутника, або складнішу модель чотирикутника загального вигляду, або чотирикутника із заокругленими кутами. Вибір тієї або іншої моделі визначається вимогою точності. З підвищенням точності модель доводиться ускладнювати, враховуючи нові й нові особливості об'єкту, процесу або системи, що вивчається.

Таким чином, важливо ще раз підкреслити, що, чим вищі вимоги до точності результатів розв’язання задачі, тим більша необхідність враховувати при побудові математичної моделі особливості об'єкту, що вивчається, процесу або системи. Проте, тут важливо вчасно зупинитися, оскільки складна математична модель може перетворитися на складну задачу. Найпростіше будується модель, коли добре відомі закони, що визначають поведінку і властивості об'єкту, процесу або системи, та є великий практичний досвід їх застосування.

Висновки, отримані в результаті дослідження такої гіпотетичної моделі, носять умовний характер.

Для перевірки висновків необхідно порівняти результати дослідження моделі на ЕОМ з результатами експерименту.

Таким чином, питання застосування деякої математичної моделі до вивчення даного об'єкту, процесу або системи не є математичним питанням і не можуть бути вирішені математичними методами.

Побудова математичної моделі в прикладних задачах – один з найскладніших і відповідальних етапів роботи. Досвід показує, що у багатьох випадках правильно вибрати модель – значить розв'язати проблему більш, ніж наполовину. Трудність даного етапу полягає в тому, що він вимагає поєднання математичних і спеціальних знань. Тому дуже важливо, щоб при розв’язанні прикладних задач математики володіли спеціальними знаннями про об'єкт, а їх партнери, фахівці, – певною математичною культурою, досвідом дослідження в своїй галузі, знанням ЕОМ і програмування.

прикладних програм.