3. Квантовые статистические распределения

3.1. Краткие теоретические сведения

Если частицы подчиняются законам квантовой механики, то для описания поведения изолированной системы частиц используют квантовую статистическую физику, основанную на следующих общих положениях:

а) в системе выполняются законы сохранения импульса, момента импульса, энергии, электрического заряда и числа частиц;

б) спектр значений физических величин может быть дискретным, непрерывным и смешанным; энергетический спектр систем, занимающих ограниченную область пространства дискретен;

в) все частицы одного сорта (тождественные частицы) неразличимы между собой;

г) состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|ψ|²) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства.

Квантовая механика накладывает ограничение на объем элементарной ячейки фазового пространства (фазовый объем): он не может быть меньше чем h³ (h – постоянная Планка).

Фундаментальный принцип неразличимости тождественных частиц допускает существование двух типов симметрии волновой функции квантовых систем тождественных частиц. Если при перестановке частиц волновая функция не меняет знак:

ψ(х₁, х₂) = + ψ(х₂, х₁), (8)

то она называется симметричной, если меняет:

ψ(х₁, х₂) = – ψ(х₂, х₁), (9)

– антисимметричной. В выражениях (8) и (9) х₁ и х₂ – соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц.

В зависимости от характера симметрии волновой функции все элементарные частицы делятся на два класса: фермионы и бозоны.

Описываемые антисимметричными волновыми функциями фермионы (например, электроны, протоны, нейтроны) имеют полуцелый спин и подчиняются статистике Ферми-Дирака. Для них выполняется принцип Паули: в системе тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. В соответствии с принципом Паули в каждой элементарной ячейке фазового пространства системы тождественных фермионов не может находиться более двух частиц.

Описываемые симметричными волновыми функциями бозоны имеют целый спин (например, π-мезоны, фотоны, фононы) и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Если энергетическому уровню соответствует несколько различных состояний квантовой системы, то он называется вырожденным. Если энергетическому уровню соответствует только одно состояние, то он называется невырожденным. Число различных квантовых состояний, характеризующихся одним и тем же значением энергии, т.е. кратность вырождения уровня, называют статистическим весом . Идеальный газ называется невырожденным, если число возможных состояний (статистический вес) при данной температуре много больше числа частиц газа: . Такой газ подчиняется классической статистике. Идеальный газ называется вырожденным, если Такой газ подчиняется квантовой статистике. Системы невзаимодействующих тождественных бозонов или фермионов называются квантовым идеальным бозе- или ферми-газом. Состояние бозе- или ферми-газа задается с помощью чисел заполнения n_i, указывающих количество частиц, находящихся в i–том квантовом состоянии, характеризуемом определенным набором квантовых чисел. Для системы бозонов числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, …,. Для системы фермионов из-за принципа Паули числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 – для свободных состояний и 1 – для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет рассчитать среднее число частиц (среднее число заполнения <n_i>) в каждом квантовом состоянии.

Распределение Ферми-Дирака фермионов идеального ферми-газа по энергиям имеет вид:

. (10)

Распределение Бозе-Эйнштейна бозонов идеального бозе-газа по энергиям имеет вид:

. (11)

Параметр распределения μ называется химическим потенциалом, не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал μ при большом числе частиц в системе можно понимать как минимальное приращение внутренней энергии теплоизолированной системы с неизменным объемом при добавлении одной частицы.

При малых (по сравнению с единицей) числах заполнения распределения Ферми-Дирака (10) и Бозе-Эйнштейна (11) переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана (1):

(12)

где А = ехр(μ/k_БТ).

Температурой вырождения называют температуру, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа. Вырождение газа становится существенным при низких температурах и больших плотностях. Если температура выше температуры вырождения, то поведение газа описывается классическими законами.

Излучение, находящееся в равновесии со стенками полости, в которой оно заключено, можно представить как идеальный фотонный газ. Фотоны являются бозонами, т. к. спин фотона равен единице. Стенки полости непрерывно излучают и поглощают фотоны. Поэтому число фотонов меняется (в зависимости от объема и температуры полости), их распределение по состояниям описывается формулой:

(13)

Энергия фотона W_i = ћω_i не зависит от координат и направления его движения, а определяется только модулем ее импульса: W = f(p). Объемная плотность энергии электромагнитного излучения, приходящейся на единичный интервал частот, определяется законом излучения Планка:

(14)