Операция замыкания. Предполные классы

Операцией замыкания называется процедура получения методом суперпозиции всех функций из заданного множества функций D, обозначается [D]. Например, [{&,,}]=P₂. [{x}]={x, x}; [{0,1}]={0,1}; [{0,x}]={0,1,x,x}.

Пусть М Р₂. Замыканием [M] множества М называется множество всех функций из Р₂, которые можно получить суперпозициями функций из М. Операция получения множества [M] из М называется операцией замыкания. Множество М называется функционально замкнутым классом, если [M]=M.

Пусть М – замкнутый класс в Р₂. DM называется функционально полной системой в М, если [D] = M. Множество D называется неприводимой системой, если замыкание любого его собственного подмножества отлично от замыкания D.

Функции f1 и f₂ называются конгруэнтными, если одна из них может быть получена из другой заменой переменных (без отождествления). Например, функции и - конгруэнтные, а функции x&y и z&z – нет.

Множество Q булевых функций называется предполным классом, если

, и .

Нетрудно показать, что предполный класс замкнут. В теории булевых функций рассматриваются пять предполных классов.

Класс Т₀ функций, сохраняющих 0.

.

Нетрудно видеть, что .

Если , то из нее, подстановкой, сохраняющих 0 функций 0 и , можно получить константу 1 или функцию отрицания.

Класс Т₁ функций, сохраняющих 1.

.

Мощность класса Т₁ равна .

Если , из нее подстановкой сохраняющих 1 функций 1 и х можно получить константу 0 или функцию отрицания .

Класс М монотонных функций.

.

Лемма о немонотонной функции: если , из нее подстановкой монотонных функций х, 0. 1 можно получить немонотонную функцию отрицания.

Класс S самодвойственных функций:

.

Мощность класса самодвойственных функций равна

Лемма о несамодвойственной функции: если , то из нее подстановкой самодвойственных функций х и можно получить константы 0 и 1.

Класс L линейных функций.

.

Мощность класса линейных функций .

Лемма о нелинейной функции: если , то из нее, подстановкой линейных функций 0, 1, х, можно получить конъюнкцию и дизъюнкцию.

Теорема Поста

Класс функций D является функционально полным в Р₂, если он содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую 0, и хотя бы одну функцию, не сохраняющую 1, и хотя бы одну немонотонную функцию, и хотя бы одну не самодвойственную функцию, и хотя бы одну нелинейную функцию.

Для доказательства функциональной полноты системы D по Посту достаточно построить таблицу Поста и убедиться, что система не входит целиком ни в один из предполных классов.

Пример. Пусть D= . Таблица Поста для этой системы функций представлена на Рис.

	R f	T0	T1	M	S	L
a		1	-	-	-	1
b		-	1	-	-	-
c	1	-	1	1	-	1
d	&	1	1	1	-	-

Рисунок 9 Пример таблицы Поста

Из таблицы видно, что данная система целиком не входит ни в один предполный класс. Воспользуемся теоремой Поста, чтобы определить базис этой функционально полной в Р₂ системы функций. Составим соответствующее таблице уравнение

.

Каждая конъюнкция в полученной ДНФ соответствует одному из базисов в Р₂. Таким образом, эта система функций содержит два базиса: B₁={,}, B₂={,1,&}.

Теорема Поста дает более универсальный подход к определению функциональной полноты системы функций, чем сформулированная выше теорема, требующая сведения заданной системы к заведомо функционально полной в Р₂ системе.