Функциональная полнота системы булевых функций

Система булевых функций полна в Р₂, если любая булева функций может быть задана в виде суперпозиции над этой системой функций. Очевидным примером функционально полной в Р₂ системы является система {&, ,}, так как в соответствии с теоремой Шеннона о разложении булевых функций по переменным любая булева функция может быть представлена формулой над этим множеством функций, а именно, СДНФ и СКНФ. Оказывается, что существуют различные функционально полные системы булевых функций. Пусть имеется некоторое множество булевых функций G={g₁,g₂,…,g_m}, и требуется определить, является ли оно функционально полным в Р₂. В теории булевых функций существует два критерия функциональной полноты системы булевых функций: сравнение заданной системы функций с заведомо функционально полной системой и критерий Поста.

Первый критерий основывается на теореме о доказательстве функциональной полноты системы булевых функций путем сравнения этой системы функций с заведомо функционально полной в Р₂ системой, которая формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть D={f₁. f₂, …, f_n} и G={g₁, g₂, …, g_m} – подмножества множества булевых функций P₂, и известно, что система D функционально полна в Р_2. Если любая функция из D может быть получена суперпозицией функций из G, То система G также полна в Р₂.

Доказательство. Пусть F(f₁,f₂,…,f_n)P₂ – произвольная булева функция, полученная суперпозицией функций из Р₂. Так как по условию теоремы где _iG, суперпозицию F(f₁,f₂,…,f_n) можно представить как F(₁(g₁,g₂,…, g_m), ₂(g₁,g₂,…, g_m), …, _n(g₁,g₂,…, g_m))= (g₁,g₂,…, g_m). Следовательно, произвольная булева функция может быть представлена суперпозицией функций из G.

Примеры:

1. Пусть D={&, , } – заведомо функционально полная система, и G={&, }. Докажем, что система G функционально полна в Р₂. Так как функции &,  уже имеются в G, остается показать, что функция  может быть определена суперпозицией над G. Воспользовавшись правилом де Моргана, получаем сразу , т.е. представляем дизъюнкцию суперпозицией над G.

2. Доказать, что система G={0, } функционально полна в Р₂.

Выберем в качестве заведомо функционально полной системы множество D={&, }. Для доказательства необходимо определить конъюнкцию и отрицание формулами над G. Целесообразная последовательность действий состоит в определении вначале , а затем &. Поскольку константа 0 – нульместная функция, ее можно использовать только для подстановки в качестве аргумента в другие функции. Импликация – двуместная функция, в которой можно выполнить вначале отождествление переменных, а затем подстановку константы вместо одного из аргументов. Учитывая, что , и выполняя подстановку xy| _{y  0} = . Далее используем правило де Моргана для получения конъюнкции.

Доказанная теорема дает универсальный способ доказательства функциональной полноты системы булевых функций. Однако если в проверяемое множество входят функции, более сложные, чем элементарные, процедура может оказаться достаточно трудоемкой. А учитывая отсутствие критерия, определяющего возможность получения требуемых функций из имеющихся, и невыполнимой.

Второй критерий, обозначенный выше как теорема Поста, лишен этих недостатков. Прежде чем перейти к нему введем несколько новых понятий.