2.6. Понятие теплоемкости

Определим теперь количество теплоты, которое необходимо сообщить идеальному газу для его нагревания или отнять от него для его охлаждения.

Количество теплоты, потребное для изменения температуры газа, зависит от того, совершается ли при этом работа, т. е. изменяется ли при этом объем газа. Если нагреваемый (или охлаждаемый) газ заключен в закрытый со всех сторон сосуд, объем которого не может изменяться (тепловым расширением материала сосуда мы здесь пренебрегаем), то подводимое к нему тепло δQ затрачивается исключительно на изменение его внутренней энергии. Давление газа при нагревании будет расти по известному уже нам закону. Если же газ находится в сосуде, подобном изображенному на рис. 32, то он будет расширяться, совершая работу подъема поршня и сохраняя при этом давление постоянным. Подводимое в этом случае тепло определяется уравнением:

δQ = dU + pdV.

Ясно, что при сохранении давления газа постоянным требуется большее количество теплоты.

Количество теплоты, потребное для нагревания газа, зависит от количества нагреваемого газа и от того, на сколько градусов должна быть изменена его температура. Чем больше то и другое, тем больше потребное количество теплоты. Поэтому для характеристики тепловых свойств газа, как и всякого другого тела, пользуются особой величиной — теплоемкостью.

Теплоемкостью тела называется количество тепла, которое нужно подвести к нему или отнять от него для изменения его температуры на 1 К.

Теплоемкость, отнесенная к единице массы вещества, называется удельной теплоемкостью. Она характеризует уже не тело, а вещество, из которого тело состоит.

Теплоемкость, отнесенная к одному молю вещества, называется молярной теплоемкостью. Как и удельная теплоемкость, она является характеристикой вещества.

Из определения теплоемкости ясно, что теплоемкость тела выражается в Дж/К. Соответственно этому удельная теплоемкость измеряется в Дж/(кг*К), а молярная — в Дж/(моль*К).

Если количество теплоты измеряется в калориях, то удельная теплоемкость измеряется в кал/(г *К), а молярная — в кал/моль*К). Очевидно, что

1 кал/(г*К) = 4186,8 Дж/(кг • К), 1 кал/(моль*К) = 4,1868 Дж/(моль*К).

Между удельной теплоемкостью, которую мы будем обозначать через с, и молярной С существует очевидное соотношение:

c = C/μ.

где μ — молярная масса вещества (численно равная массе моля). Если моль вещества нагревается не на 1 градус, а на dT градусов, то количество тепла, затрачиваемое на это, равно

δQ = CdT,

откуда:

. (81)

2.7.Теплоемкость при постоянном объеме и теплоемкость при постоянном давлении

Пусть нагревание происходит в условиях, когда объем остается постоянным (V = const). Соответствующая молярная теплоемкость называется теплоемкостью при постоянном объеме, или изохорической теплоемкостью, и обозначается C_V:

(82)

Так как теплота при этом тратится только на изменение внутренней энергии dU, то δQ = dU и

(83)

Отсюда dU = C_V dT. Уравнение закона сохранения энергии (80) можно теперь переписать в виде

δQ = C_VdT + pdV. (84)

Следовательно, подводимое к телу тепло расходуется на изменение температуры dT (изменение внутренней энергии) и изменение объема dV (с этим связана внешняя механическая работа).

Если при нагревании постоянным остается давление, то теплоемкость называется теплоемкостью при постоянном давлении С_р (ее можно также называть изобарической теплоемкостью):

.

Пользуясь результатами кинетической теории газов, легко вычислить молярные теплоемкости идеального газа.

Для идеального одноатомного газа, как мы видели, внутренняя энергия моля равна U = RT; значит,

. (85)

Если разделить это значение молярной теплоемкости на число молекул в грамм-молекуле, т. е на число Авогадро, то получим тот средний вклад, который каждая молекула вносит в теплоемкость газа:

.

Следовательно, при повышении температуры на 1 К энергия каждой молекулы в среднем возрастает на джоулей.

Теплоемкость C_p идеального газа при постоянном давлении больше теплоемкости C_V при постоянном объеме на величину работы, которую совершает моль газа, расширяясь при нагревании на 1К. Работа эта равна . Таким образом,

. (86)

Но для моля идеального газа pV = RT, поэтому и

. (87)

Из формул (85) и (87) видно, что теплоемкость при постоянном давлении превосходит теплоемкость при постоянном объеме на величину R:

C_P – C_V = R. (88)

Уравнение (88) называется уравнением Роберта Майера. Из него вытекает физический смысл газовой постоянной:

газовая постоянная численно равна работе, которую 1 моль идеального газа совершает, расширяясь при нагревании на 1 К.