1.21. Диффузия в газах

Рассмотрим газовую смесь, состоящую из нескольких компонент, т. е. из молекул нескольких сортов. Число молекул i-й компоненты в единице объема обозначим n_i. Полное число молекул в единице объема будет равно

.

Относительной концентрацией i-й компоненты в смеси называется безразмерная величина

.

Очевидно, что сумма относительных концентраций всех компонент равна единице:

.

Абсолютной концентрацией какой-либо компоненты называется масса молекул данного сорта, содержащаяся в единице объема. Определенная таким образом кон­центрация представляет собой парциальную плотность данной компоненты. Если масса молекулы i-й компоненты m_i, то абсолютная концентрация будет равна

c_i = n_im_i.

Давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений отдельных компонент и определяется полным числом молекул в единице объема:

.

Может случиться, что концентрация газовых компонент в различных точках пространства будет неодинакова. В этом случае вследствие теплового движения молекул будет происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы i-й компоненты в направлении убывания ее концентрации. Этот процесс носит название диффузии.

Полное число молекул, а следовательно, и давление в процессе диффузии не изменяются. Происходит лишь перераспределение молекул разных сортов, т. е. изменение величин n_i, причем таким образом, что возрастание в каком-то месте n_i для одной из компонент сопровождается одновременным изменением n_i для других компонент, так что сумма n_i остается постоянной.

В дальнейшем в этом параграфе будет идти речь о двухкомпонентных газовых смесях.

Предположим, что в некотором объеме каким-то образом поддерживается не изменяющийся со временем градиент концентраций обеих компонент вдоль направления z (рис. 31, на котором вместо абсолютных концентраций изображены пропорциональные им числа молекул в единице объема). Давление во всем объеме одинаково. Следовательно, сумма n₁ + п₂ в каждом сечении будет одна и та же. В этом случае через перпендикулярную к z площадку S устанавливается преимуще­ственный поток молекул первого сорта в направлении слева направо, который можно охарактеризовать величиной массы М₁ переносимой через S за одну секунду. Опыт дает, что эта величина определяется следующим выражением:

, (69)

где D – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии, — градиент абсолютной концентрации в том сечении, где мы мысленно расположили площадку S.

Рис. 31. К вычислению коэффициента диффузии

Масса, переносимая через площадку S за время t, очевидно, равна

. (70)

Одновременно будет существовать встречный поток молекул второго сорта, определяемый аналогичным выражением

.

Уравнение (70) представляет собой эмпирическое уравнение диффузии. Знак «—» показывает, что масса переносится в направлении убывания концентрации данной компоненты.

Получим уравнение диффузии, основываясь на молекулярно-кинетических представлениях, причем для упрощения расчетов мы будем считать, что молекулы обеих компонент мало отличаются по массе (т₁ ≈ т₂ ≈ т) и имеют практически одинаковые эффективные сечения (σ₁ ≈ σ₂ ≈ σ). В этом случае молекулам обеих компонент можно приписывать одинаковую среднюю скорость теплового движения v, а среднюю длину свободного пробега вычислять по формуле

,

где п = n₁ + n₂.

Пусть изменение концентрации первой компоненты вдоль оси z дается функцией с₁ = с₁(z). Каждая молекула, пролетающая через площадку S, переносит присущую ей массу т (напомним, что т₁ ≈ т). Обозначим количество молекул первой компоненты, пролетающих за секунду через S в направлении оси z, через , тоже число для направления, противоположного z, — через .

Тогда масса первой компоненты, переносимая за секунду в направлении z, может быть представлена в виде

. (71)

Как и в предыдущих случаях, можно считать, что пересекающие площадку S молекулы прилетают из сечений, отстоящих от S на среднюю длину свободного пробега. Тогда количество молекул, пролетающих через S в направлении оси z, будет определяться значением числа молекул в единице объема , отвечающим сечению с координатой z – λ, а количество молекул, летящих в противоположном направлении, — , отвечающим сечению с координатой z + λ. Таким образом, числа и определяются выражением

,

где для должно быть взято число , а для — число . Подставляя значения и в (71), получаем:

.

Поскольку т — постоянная величина, выражение можно записать в виде

, что представляет собой градиент концентрации . Тогда

(72)

Сопоставляя (72) и (70), получаем газокинетическое выражение для коэффициента диффузии:

. (73)

Отсюда вытекает, что размерность D равна м²/с.

Проведенные нами рассуждения в равной мере применимы к обеим компонентам смеси. Следовательно, коэффициент диффузии для обеих компонент имеет одинаковое значение.

Сравнивая (73) с (59), получаем следующую связь между η и D:

η = ρD.

Подставив в (73) выражение для и λ, получаем:

D ~ .

В отличие от η и κ коэффициент диффузии оказывается обратно пропорциональным числу молекул в единице объема, а следовательно, и давлению p. Зависимость от температуры у D такая же, как у η и κ.

Для смеси молекул различной массы и сечения соответствующий расчет дает следующее выражение коэффициента диффузии:

,

где B – числовой коэффициент, – так называемая приведенная масса молекул и – полусумма эффективных диаметров.