1.20. Теплопроводность газов

Опытным путем установлено, что в случае, если в какой-либо среде вдоль некоторого направления z температура не остается постоянной, то вдоль этого направления устанавливается поток тепла, величина которого определяется формулой

(61)

где q—количество тепла, протекающее за единицу времени через площадку S, расположенную перпендикулярно к оси z, — градиент температуры, κ — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств среды и называемый коэффициентом теплопроводности. Размерность q равна Дж/сек (или эрг/сек, кал/сек и т. д.). Следовательно, и имеет размерность Дж/(м • сек • град). Знак «—» в (61) отражает то обстоятельство, что направление, в котором возрастает температура, и направление, в котором течет тепло, противоположны, т. е. что тепло течет в направлении убывания температуры. Поток тепла в (61) — величина алгебраическая: если тепло течет в положительном направлении оси z, q положительно, если же тепло течет в отрицательном направлении оси z, то q отрицательно (рис. 29).

Чтобы вычислить количество теплаQ, протекающее через площадку S за время t, нужно q умножить на t:

. (62)

Вычислим поток тепла в газе, основываясь на молекулярно-кинетических представлениях. Если температура газа в разных точках различна, то и средняя энергия молекул в этих точках также будет различна. Перемещаясь вследствие теплового движения из одних мест в другие, молекулы переносят запасенную ими энергию. Этот перенос энергии и обусловливает процесс теплопроводности в газах.

Рис. 29. Перенос тепла вдоль направления z

Рассмотрим газ, в котором каким-то способом поддерживается непостоянство температуры, вдоль направления, которое мы обозначим буквой z. Представим мысленно площадку S, перпендикулярную к этому направлению (рис. 30). Количество молекул, пролетающих через площадку S в направлении ее нормали, определяется выражением

(63)

Каждая молекула несет с собой энергию, соответствующую температуре в том месте, где произошло последнее соударение ее с другой молекулой. В среднем это соударение происходит на расстоянии от S, равном средней длине свободного пробега λ. Поэтому молекулам, летящим слева направо, следует приписывать энергию ε₁, отвечающую температуре T₁ в плоскости (z – λ), молекулам же, летящим в противоположном направлении,— энергию ε₂, отвечающую температуре T₂ в плоскости (z + λ).

Величины n и зависят от температуры. В связи с этим, казалось бы, следовало для нахождения числа молекул, летящих через площадку S слева направо, подставлять в формулу (63) значения n и , отвечающие температуре Т₁, а для нахождения числа молекул, летящих справа налево, — значения n и , отвечающие температуре T₂. Однако легко сообразить, что числа частиц, летящих через площадку S во встречных направлениях, не могут быть различными. Если бы они оказались неодинаковыми, то кроме потока тепла через площадку S наблюдался бы поток вещества — происходило бы перемещение газа из одной части пространства в другую. Мы же предполагаем, что движение газа, как целого, отсутствует.

Рис. 30. К вычислению потока тепла через площадку S, перпендикулярной направлению z

Число молекул, пролетающих через S в каждом из направлений, найдем по формуле (63), приняв для п и ; их значения в сечении S. Тогда количество энергии, переносимое молекулами за секунду через площадку S в положительном направлении оси z, можно записать следующим образом:

. (64)

В силу малости λ можно считать, что

где T – температура в том месте, где расположена площадка S, – производная T по z в том же месте.

Подставив эти значения в формулу (64), получим:

.

Умножим и разделим это выражение на массу молекулы m и число Авогадро N_A:

.

Далее, учитывая, что mn = ρ, а

– удельная теплоемкость при постоянном объеме, можно написать:

. (65)

Сопоставление (65) с (61) дает для коэффициента теплопроводности газов следующее выражение:

. (66)

Сравнив формулу (59) для η с формулой (66) для κ, замечаем, что

κ = ηc_V. (67)

Выясним зависимость κ от величин, характеризующих молекулу, и от параметров газа. Поскольку κ ~ ηc_V, для этого достаточно умножить (60) на величины, входящие в выражение для c_V:

~ .

В результате получается

κ~ . (68)

Эта зависимость отличается от зависимости (59) для η тем, что κ обратно пропорционален , в то время как η прямо пропорционален . Кроме того, κ зависит от числа и характера степеней свободы молекулы (от числа i). Зависимость от давления и температуры у κ такая же, как и у η. Следовательно, коэффициент теплопроводностн не зависит от давления (до тех пор, пока λ не становится того же порядка, что и линейный размер сосуда, вдоль которого передается тепло) и возрастает с температурой несколько быстрее, чем .