1.19. Вязкость газов

До сих пор мы рассматривали газ, находящийся в равновесном состоянии. Такое состояние характеризуется одинаковостью во всех точках занимаемого газом объема таких величин, как температура, давление, относительное количество молекул разного сорта и т. п. Теперь мы рассмотрим явления, возникающие при отклонениях газа от равновесия, причем ограничимся случаями, когда эти отклонения невелики. Подобные явления по причинам, которые выяснятся в дальнейшем, получили название явлений переноса. Мы рассмотрим только три таких явления — внутреннее трение или вязкость, теплопроводность и диффузию.

Отметим, что статистическая физика имеет дело только с равновесными состояниями тел. Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равновесия, носит название физической кинетики.

Рис. 26. Схематическое изображение потока газа. Скорость изменяется вдоль оси z

Рассмотрение явлений переноса мы начнем с вязкости газов. Если скорость и в потоке газа меняется от слоя к слою, то на границе между двумя смежными словами (рис. 26) действует сила внутреннего трения, величина которой, как известно из механики, определяется эмпирической формулой:

(54)

где η — коэффициент вязкости или коэффициент внутреннего трения,

– градиент скорости, т. е. величина, показывающая, как быстро изменяется скорость движения газа и в направлении z, перпендикулярном к поверхности, разделяющей слои, S — величина поверхности, по которой действует сила f.

Чтобы понять происхождение силы внутреннего трения, рассмотрим два соприкасающихся слоя газа некоторой толщины Δz. Предположим, что слои движутся с различными скоростями u₁ и u₂ (рис. 27). Каждая молекула газа участвует в двух движениях: хаотическом тепловом, средняя скорость которого равна , и упоря­доченном движении со скоростью u, которая значительно меньше, чем ( ~ 10³ м/сек, скорость ветра при самом сильном урагане ~ 10² м/сек).

Рис. 27. Два соприкасающихся слоя газа толщиной Δz

Пусть в какой-то момент времени слои обладают импульсами К₁ и К₂. Эти импульсы не могут оставаться неизменными, так как вследствие теплового движения происходит непрерывный переход молекул из одного слоя в другой. За время Δt через поверхность S переходит в обоих направлениях одинаковое количество мо­лекул, равное

(55)

(мало существенным влиянием упорядоченного движения на величину скорости молекул можно пренебречь).

Попав в другой слой, молекула претерпевает соударения с молекулами этого слоя, в результате чего она либо отдает избыток своего импульса другим молекулам (если она прилетела из слоя, движущегося с большей скоростью), либо увеличивает свой импульс за счет других молекул (если она прилетела из слоя, движущегося с меньшей скоростью). В итоге импульс более быстро движущегося слоя убывает, а более медленно движущегося — возрастает.

Например, из первого слоя уносится молекулами за время Δt импульс, равный

где ΔN определяется формулой(55), т — масса молекулы.

Одновременно в этот слой привносится импульс

Следовательно, за время Δt импульс первого слоя получает приращение, равное

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что импульс второго слоя получает при этом приращение

ΔK₂ = –ΔK₁.

Основываясь на связи между изменением импульса и силой, можно утверждать, что движение слоев происходит таким образом, как если бы по поверхности S на первый слой действовала сила

(56)

а на второй слой — сила

Из формулы (56) следует, что сила, с которой взаимодействуют два смежных слоя, равна импульсу, переносимому молекулами через поверхность раздела за секунду.

Чтобы получить окончательную формулу для силы трения, нужно учесть, что скорость не может, как мы предполагали, изменяться скачком на границе двух слоев, а изменяется непрерывно в перпендикулярном к слоям направлении z [u = u(z), см.рис. 28]. Каждая молекула, пролетающая через поверхность S, переносит импульс, определяемый значением скорости и в том месте, где произошло последнее столкновение молекулы. Через поверхность S будут пролетать молекулы, претерпевшие соударение на самых различных расстояниях l от S, причем вероятность различных l определяется формулой (47). В среднем последнее соударение происходит на расстоянии от S, равном средней длине свободного пробега λ (рис. 28). Поэтому молекулам, пролетающим через S в направлении сверху вниз (на рисунке), нужно приписать значение скорости в сечении с координатой z + λ, а молекулам, пролетающим в направлении снизу вверх, — значение скорости в сечении с координатой z —λ. Поскольку λ очень мала, эти скорости можно представить следующим образом:

(57)

где u(z) —скорость газа в том сечении, где мы мысленно расположили поверхность раздела S, – значение производной в том же сечении.

Рис. 28. Изменение скоростей молекул вдоль оси z

Теперь силу трения можно вычислить по формуле (56), подставив вместо u₁ и и₂ значения (57):

Учитывая, что nm равно плотности газа ρ, последнюю формулу можно написать в виде

(58)

Сравнение (58) с эмпирической формулой (54) показывает, что, исходя из газокинетических представлений, нам удалось не только, прийти к правильной за­висимости f от и S, но и получить выражение для коэффициента вязкости η. Действительно, из их сопоставления вытекает, что

(59)

Более строгий расчет, учитывающий ряд факторов, которыми мы пренебрегли, приводит к такой же формуле, но с несколько отличным числовым коэффициентом.

Исследуем полученное нами выражение (59) для коэффициента вязкости газов. Заменяя ρ на пт и учитывая, что средняя скорость v пропорциональна , а средняя длина свободного пробега λ пропорциональна 1/nd², можно записать

η ~ ~ . (60)

Прежде всего обращает на себя внимание, что η не зависит от числа молекул в единице объема, а следовательно, и от давления (p = nkT). Этот, на первый взгляд, удивительный результат имеет следующее объяснение. С понижением давления уменьшается п, т. е. число молекул, участвующих в переносе импульса. Одновременно растет λ, а значит, и различие в импульсах, переносимых одной молекулой в противоположных направлениях. В итоге получается, что суммарный импульс, переносимый молекулами при данном градиенте скорости , не зависит от давления. Это справедливо лишь до тех пор, пока λ остается малой по сравнению с размерами зазора, в котором течет газ (например, по сравнению с диаметром трубы). По мере того как перестает выполняться это условие, вязкость начинает все больше зависеть от давления, уменьшаясь с его понижением. Когда средняя длина пробега становится сравнимой с размерами зазора, в котором течет газ, пробег молекул будет определяться величиной зазора и λ перестает зависеть от давления, Число же молекул в единице объема при уменьшении давления продолжает убывать, вследствие чего уменьшается и η.