6.2. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Продифференцируем выражение (124) по времени дважды:

,

. (127)

Первое выражение дает скорость колеблющейся точки, второе – ускорение. Как видно, скорость и ускорение меняются во времени по гармоническому закону.

Из второго выражения следует, что ускорение пропорционально отклонению точки и направлено в сторону, противоположную отклонению, т. е. в сторону равновесия:

a = – ω²x. (128)

Умножив обе части уравнения (128) на массу, получим силу, действующую на колеблющуюся точку:

F = –mω²x . (129)

Гармонические колебания совершаются под действием силы, которая пропорциональна отклонению и направлена к положению равновесия.

Запишем уравнение (128) в виде

. (130)

Уравнение (130) – это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением являются гармонические функции синус или косинус. Решением уравнения (130) является так же экспонента. В теоретических исследованиях колебания чаще всего описываются экспонентой.

6.3. Пружинный маятник

Рассмотрим систему, состоящую из шарика массы m, закрепленного на пружине, который может свободно, без трения, двигаться вдоль оси x (рис. 48). Пусть в положении равновесия координата x имеет нулевое значения. При отклонении шарика в ту или иную сторону пружина, согласно закону Гука, будет действовать на шарик с силой

, (131)

где k – коэффициент жесткости пружины. Сила упругости направлена в сторону, противоположную смещению .

По второму закону Ньютона, сила упругости придает шарику ускорение, которое определяется формулой F_УПР = ma, где m – масса шарика. Тогда уравнение (131) можно записать в виде:

.

Вводя обозначение ω² = k/m, окончательно получаем:

Таким образом, шарик массы m, закрепленный на пружине жесткостью k, при малых отклонениях (пока выполняется закон Гука) совершает колебания с круговой частотой

.

Период колебаний равен

Рис. 48.

Пружинный маятник

Амплитуда x_m и начальная фаза колебаний не могут быть определены непосредственно из дифференциального уравнения колебаний. Эти постоянные определяются начальными условиями, например начальными значениями смещения х(0) и скорости dx/dt.

6.4. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

На маятник действует сила тяжести и сила реакции нити , которые в состоянии равновесия компенсируют друг друга. Но если отклонить маятник на некоторый угол α, то векторная сумма этих сил даст возвращающую силу , которая будет направлена к положению равновесия (рис. 49). Величина этой силы F = m*g*sin(α).

Рис. 49.

Математический маятник

Отклонение маятника равно длине дуги AE, которая через длину маятника L и угол отклонения α выражается как s = Lα. Уравнение движения маятника:

Введя обозначение

, (132)

получаем дифференциальное уравнение движения математического маятника:

При малых отклонениях, когда sin(α) ≈ α, можно записать:

. (133)

При малых отклонениях от положения равновесия математический маятник совершает гармонические колебания с круговой частотой (132).

Период колебаний математического маятника:

(134)

Период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника, а зависит только от длины нити и ускорения свободного падения.

Колебания математического маятника происходят под действием возвращающей силы, которая по характеру действия аналогична силе упругости, действующей на пружинный маятник. Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные им по виду зависимости от смещения, называются квазиупругими. Квазиупругую силу обычно записывают в виде, аналогичном формуле (131):

F = –kx,

где k = ω²m. (135)