5.13. Энергия упругой деформации

Упруго деформированное тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в недеформированное состояние, может, подобно сжатой или растянутой пружине, совершить работу над внешними телами, т. е. обладает некоторым запасом энергии. Поскольку эта энергия обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представляет собой потенциальную энергию. Запас энергии деформированного тела равен, очевидно, работе, которая совершается внешними силами при деформации.

Вычислим энергию упруго растянутого (сжатого) стержня. При растяжении на стержень необходимо действовать силой, величина которой определяется выраже­нием (113). Работа этой силы равна

где буквой х обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации изменяется от 0 до Δl. Сила f, соответствующая удлинению х, согласно (113) равна

Следовательно,

Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на l, заменяя затем отношение Δl/l относительным удлинением ε и учитывая, наконец, что Sl дает объем стержня V, получим:

(121)

Введем в рассмотрение плотность энергии u, которую определим как отношение энергии ΔU к тому объему ΔV, в котором она заключена:

Поскольку в нашем случае стержень однороден и деформация является равномерной, т. е. одинаковой в разных точках стержня, энергия (121) распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью. Поэтому можно считать:

(122)

Выражение (122) дает плотность энергии упругой деформации при растяжении (или при сжатии). Аналогичным образом можно получить, что плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна

(123)

6. Колебания

6.1.Гармонические колебания

Периодическим колебанием называется процесс, при котором система (например, механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.

Колебание – это движение с ускорением. Значит, на колеблющуюся систему действует некоторая сила. Обычно колебания – это периодические отклонения системы от положения равновесия. При таких отклонениях возникает сила, возвращающая систему в положение равновесия. Эта сила называется возвращающей силой.

Возвращающая сила – сила, под действием которой происходит колебательный процесс.

В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.

Свободные колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).

Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей. Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.

Гармоническими колебаниями называют такие колебательные движения, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса:

x=Asin(ωt + φ₀) или x = Acos(ωt + φ₀).

Рассмотрим равномерное движение точки по окружности радиуса A (рис. 47). Изменение абсциссы точки со временем описывается формулой

x = Acos(ωt + φ₀). (124)

Радиус окружности A в этом случае показывает максимальное отклонение координаты x от нулевого значения (в ту или иную сторону). Величина A называется амплитудой колебаний. Амплитуда показывает максимальное отклонение системы от положения равновесия. По определению, амплитуда величина положительная.

Рис. 47.

Гармонические колебания

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Как видно из рисунка, фаза – это угол радиус-вектора точки с осью абсцисс в данный момент времени. Величина φ₀ называется начальной фазой колебаний, т.е. это значение фазы в начальный момент времени. Если начальная фаза равна 0, т.е. если точка начинает движение, находясь на оси x, то уравнение движение выглядит так:

x = Acos(ωt).

Если точка начинает движение с положения (0,–A), то уравнение движения можно записать следующим образом:

x=Asin(ωt).

Периодом Т называется время одного полного колебания, т.е. это время через которое фаза колебаний повторяется. За один период колеблющаяся точка проходит путь, численно равный четырем амплитудам.

Величина ω называется круговой, или циклической частотой колебаний. Круговая частота равна изменению фазы в единицу времени. Единица измерения круговой частоты рад/с (обозначается с^-1). Как видно, круговая частота аналогична угловой скорости (19). Связь круговой частоты и периода:

. (125)

Наряду с круговой частотой рассматривается частота ν, которая определяется как число полных колебаний в секунду:

. (126)

Измеряется частота ν в герцах (Гц). Как видно из формул (115) и (116), ω = 2πν.