5.11. Деформация сдвига

Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы и (f₁ = f₂ =f), направленные параллельно этим граням (рис. 45). Если действие сил будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани S, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение

(116)

Под действием напряжений тело деформируется таким образом, что верхняя (на рисунке) грань сместится относительно нижней на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные горизонтальные слои, то каждый слой окажется сдвинутым относительно соседних с ним слоев. По этой причине деформация такого вида получила название сдвига.

Рис. 45.

Деформация сдвига

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый угол φ. Следовательно, отношение сдвига δа двух произвольно взятых слоев к расстоянию между этими слоями δb будет одинаково для любой пары слоев. Это отношение естественно взять в качестве характеристики деформации сдвига:

(117)

Величина γ называется относительным сдвигом. В силу малости угла φ можно положить tgφ = φ. Следовательно, относительный сдвиг γ оказывается равным углу сдвига φ. Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:

(118)

Коэффициент G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равным 45° (tgφ = 1), если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости.

5.12. Кручение круглого стержня

Кроме разобранных нами основных деформаций, рассмотрим кручение круглого стержня. Если круглый стержень закрепить одним концом неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент , имеющий направление вдоль оси стержня (рис. 46), то стержень получит такую деформацию, при которой его нижнее основание повернется по отношению к верхнему на некоторый угол φ.

Рис. 46.

Кручение

Легко видеть, что деформация при кручении представляет собой деформацию сдвига. Действительно, если мысленно разбить стержень на элементарные слои, перпендикулярные к его оси, то закручивание приведет к сдвигу каждого из таких слоев по отношению к соседним с ним слоям. Правда, сдвиг этот будет неоднороден: участок слоя ΔS получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя тем большее смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня.

Произведя соответствующий расчет, можно показать, в согласии с опытом, что угол закручивания стержня определяется следующим выражением:

(119)

где l – длина стержня, r – его радиус, G – модуль сдвига, М — вращательный момент.

Обозначая постоянный для данного стержня множитель при М буквой k, соотношению (119) можно придать вид

φ = kM. (120)

Последнее соотношение выражает закон Гука при кручении. При постоянной длине стержня из данного материала коэффициент пропорциональности k очень сильно зависит от толщины стержня (как 1/r⁴).