5.7. Закон Стокса

При малых Re, т. е. при небольших скоростях движения [и небольших l; см. (105)], сопротивление среды обусловлено практически только силами трения. Согласно закону, установленному Стоксом, сила сопротивления в этом случае пропорциональна коэффициенту динамической вязкости η, скорости v движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела l: f ~ ηlv (предполагается, что расстояние от тела до границ жидкости, например до стенок сосуда, значительно больше размеров тела). Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Для шара, если в качестве l взять радиус шара r, коэффициент пропорциональности оказывается равным 6π. Следовательно, сила сопротивления движению шарика в жидкостях при небольших скоростях в соответствии с законом Стокса равна

f = 6πηlv (106)

На небольшой шарик, падающий вертикально в жидкости или газе, будут действовать три силы: 1) сила тяжести (4/3)πr³ρg (r — радиус шарика, ρ – его плотность), направленная вниз, 2) выталкивающая сила (4/3)πr³ρ₀g (ρ₀ – плотность жидкости или газа), направленная вверх, и 3) сила сопротивления 6πηrv направленная в сторону, противоположную направлению движения, т. е. вверх. Первые две силы по величине постоянны, третья пропорциональна скорости v. Поэтому по достижении некоторой определенной скорости v₀ выталкивающая сила и сила сопротивления в сумме уравновешивают силу тяжести, вследствие чего шарик начинает двигаться без ускорения, т. е. равномерно. Скорость v₀ равномерного движения легко найти из следующего условия:

.

Решая это уравнение относительно v₀, получим:

. (107)

Как видно из (107), скорость равномерного падения шарика в вязкой среде пропорциональна квадрату его радиуса. По причинам, выясненным выше, формула (107) годна только для малых шариков.

Измерив скорость установившегося (равномерного) падения маленьких шариков в жидкости, можно по формуле (107) найти вязкость жидкости η. Этим методом определения вязкости иногда пользуются на практике.

5.8. Подъемная сила

Для возникновения подъемной силы вязкость жидкости не имеет существенного значения. На рис. 43б показаны линии тока при обтекании идеальной жидкостью полуцилиндра. Вследствие полного обтекания линии тока будут симметричны относительно прямой CD. Однако относительно прямой АВ картина будет несимметричной. Линии тока сгущаются вблизи точки С, поэтому давление здесь будет меньше, чем вблизи точки D, и возникает подъемная сила Р. Аналогичным образом возникает подъемная сила и в вязкой жидкости. Силой, поддерживающей самолет в воздухе, служит подъемная сила, действующая на его крылья. Лобовое сопротивление играет при полете самолета вредную роль. Поэтому крыльям самолета и его фюзеляжу придают хорошо обтекаемую форму. Профиль крыла должен вместе с тем обеспечивать достаточную по величине подъемную силу. Оптимальным для крыла является показанный на рис. 43в профиль, найденный великим русским ученым Н. Е. Жуковским (1847—1921). Трудами Жуковского и его ученика С. А. Чаплыгина было положено начало современной аэродинамике. В. И. Ленин назвал Жуковского отцом русской авиации. Жуковский, в частности, вывел формулу для определения подъемной силы, являющуюся основой всех аэродинамических расчетов самолетов.