5.2. Давление при наличии объемных сил.

Рассмотрим распределение давления при наличии объемных сил. Выделим в жидкости отвердевший объем в виде горизонтально расположенного цилиндра малого сечения ΔS (рис. 35б). Поскольку объемная сила направлена по вертикали, вдоль оси цилиндра будут действовать только две силы: p₁ΔS и p₂ΔS. Из условия равновесия следует, что р₁ = р₂, значит, во всех точках жидкости, лежащих на одном уровне (т. е. в одной горизонтальной плоскости), давление имеет одинаковую величину.

Теперь выделим отвердевший цилиндрический объем жидкости таким образом, чтобы его ось была вертикальна (рис. 35в). В этом случае вдоль оси цилиндра, кроме сил давления на основания, будет действовать также объемная сила ρghΔS (ρ – плотность жидкости, h – высота цилиндра) и условие равновесия имеет вид

p₂ΔS = p₁ΔS + ρghΔS.

Сокращая на ΔS, имеем:

p₂ = p₁ + ρgh. (96)

Таким образом, давления на двух разных уровнях отличаются на величину, численно равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими уровнями, с площадью сечения, равной единице.

Следствием неодинаковости давлений на разных уровнях является наличие выталкивающей силы (силы Архимеда), действующей на тела, находящиеся в жидкости или газе. Чтобы найти величину и направление выталкивающей силы, заменим тело отвердевшим объемом жидкости (газа). Поскольку этот объем будет находиться в равновесии, сила его веса должна уравновешиваться равнодействующей всех сил давления, действующих на его поверхность. Такие же поверхностные силы действуют и на само тело, и их равнодействующая дает выталкивающую силу.

Из сказанного следует, что выталкивающая сила равна весу жидкости в объеме тела и действует вверх по вертикали. Отвердевший объем остается в равновесии при любых его ориентациях (состояние безразличного равновесия). Следовательно, точка приложения выталкивающей силы совпадает с центром тяжести объема тела.

Если средняя плотность тела меньше, чем плотность жидкости, то в состоянии равновесия тело будет погружено в жидкость только частично. При этом сила тяже­сти (приложенная к центру тяжести тела) и выталкивающая сила (приложенная к центру тяжести погруженной в жидкость части объема тела) должны быть равны по величине и действовать вдоль одной и той же прямой (рис. 36), иначе они создадут вращательный момент и равновесие будет нарушено.

Рис. 36.

Выталкивающая сила и сила тяжести

5.3. Течение жидкости. Трубки тока.

Чтобы описать движение жидкости, можно задать траекторию и скорости в функции от времени для каждой частицы жидкости. Такой способ описания разраба­тывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства и отмечать скорость, с которой проходят через каждую данную точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов , за­данных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором v (рис. 37). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы густота их (которая характеризуется отношением числа лини» ΔN к величине перпендикулярной к ним площадки ΔS, через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине вектора в разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще и, наоборот, где скорость меньше, линии тока будут реже.

Рис. 37.

Линии тока

Поскольку величина и направление вектора в каждой точке могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся, или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением . Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Рис. 38.

Трубки тока

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор , будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным и к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (рис. 38а). Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время Δt через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент не превышает значения vΔt. Следовательно, за время Δt через сечение S пройдет объем жидкости, равный SvΔt, а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный Sv. Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (т. е. плотность ее всюду одинакова и изменяться не может), то количество жидкости между сечениями S₁ и S₂ (рис. 38б) будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения S₁ и S₂, должны быть одинаковы:

S₁v₁ = S₂v₂

(напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят).

Приведенное выше рассуждение применимо к любой паре сечений S₁ и S₂. Следовательно, для несжимаемой жидкости величина Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

Sv = const. (97)

Полученный нами результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи.

Из (97) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки – в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот.

Теорема о неразрывности струи применима к реальным жидкостям и даже к газам в том случае, когда сжимаемостью их можно пренебречь. Соответствующий расчет показывает, что при движении жидкостей и газов со скоростями, меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми.

Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с возникновением сил трения. Несжимаемая жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Рис. 39.

К выводу уравнения Бернулли