4.6. Закон сохранения момента импульса

Если в уравнении (87) положить = 0, то получим

Если момент внешних сил относительно неподвижного начала О равен нулю, то момент импульса системы относительно того же начала остается постоянным во времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса.

Если система тел, вращающихся относительно некоторой оси, замкнута, то внешние силы не действуют. В этом случае М=0. Изменение момента импульса системы тел тоже будет равно нулю. Это означает, что момент импульса системы тел остается постоянным. Мы получили закон сохранения момента импульса для замкнутой системы тел.

Момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным.

Важным является случай центральных сил, когда направления всех сил, действующих на материальные точки системы, проходят через неподвижный центр О. Момент таких сил относительно точки О равен нулю. Поэтому момент импульса системы относительно точки О должен сохраняться, т. е. оставаться постоянным во времени. И это справедливо даже тогда, когда силы зависят от скоростей.

Наряду с законами сохранения импульса и энергии закон сохранения момента импульса является одним из важнейших фундаментальных законов физики. В атомной физике понятие момента импульса должно быть обобщено. Это видно уже из того, что в классической механике момент импульса определен через координаты и скорости частиц, а эти величины, согласно принципу неопределенностей Гейзенберга, одновременно не могут иметь определенных значений в одном и том же состоянии. Кроме того, моментом импульса могут обладать не только частицы, но и силовые поля, например электромагнитное поле. Наконец, понятия и законы классической механики не всегда применимы к процессам, происходящим внутри атомов, атомных ядер и элементарных частиц. При рассмотрении таких процессов не представляется возможным пользоваться классическими понятиями, к числу которых относится момент импульса как он был определен выше. Здесь можно только ограничиться замечанием, что в физике понятие момента импульса расширяется, но как это делается фактически, пока рассматривать преждевременно. Изучающий физику уже с самого начала должен иметь в виду, что физика обобщает механическое понятие момента импульса и постулирует закон его сохранения для всех физических процессов. Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является теоремой механики, а должен рассматриваться как самостоятельный общефизический принцип, являющийся обобщением опытных фактов.

4.7. Гироскоп

Гироскопом называется симметричный объект, вращающийся с большой скоростью относительно одной из своих осей симметрии. Если на такой объект действует сила, создающая момент который стремится повернуть ось вращения, возникает явление прецессии – ось вращения начинает описывать в пространстве конусообразную поверхность, ось симметрии которой совпадает с направлением действия силы. Примером прецессии является движение вращающегося волчка, ось которого выведена из вертикального положения; ещё один пример – прецессия электронных орбит в атоме, которая приводит к возникновению диамагнетизма.

На рис. 31а изображено положение вращающегося волчка в некоторый момент времени. Ось вращения ОО' наклонена относительно вертикали на некоторый угол, волчок вращается так, что вектор его угловой скорости (и, соответственно, вектор момента импульса ) в этот момент находятся в плоскости рисунка.

На гироскоп действуют две силы, приложенные в разных точках: сила тяжести и сила реакции опоры . Если бы гироскоп не вращался, он бы упал, поворачиваясь в плоскости рисунка по часовой стрелке относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно этой плоскости. Падение обусловлено действием момента силы тяжести относительно точки О (он направлен вглубь рисунка); момент силы реакции опоры относительно этой точки равен нулю (нулю равно расстояние от точки О до точки приложения силы ). Поэтому уравнение моментов для гироскопа можно записать в виде:

.

Из данной формулы следует, что под действием момента силы тяжести у гироскопа за малое время dt появляется добавка к уже имевшемуся моменту импульса – тоже малая и направленная перпендикулярно ему (как и – вглубь плоскости рисунка). В результате вектор переходит в вектор – равный по модулю, но имеющий уже несколько иное направление (см. рис. 316, который является видом сверху схемы расположения векторов и при прецессии). В результате ось вращения гироскопа и сам гироскоп поворачиваются вокруг вертикальной оси.

Рис. 31.

Прецессия гироскопа

Изменение положения оси влечёт за собой изменение направления действия момента силы тяжести, который также «поворачивается» (теперь это ). Под его действием возникает новая добавка к моменту импульса, , которая, в свою очередь меняет направление вектора на , ось гироскопа продолжает движение, момент силы тяжести вновь меняет направление и т. д. Как результат, начинается прецессия – движение оси вращения гироскопа по конусообразной поверхности относительно вертикальной оси (рис. 31а).

Пусть за время dt ось гироскопа повернется на угол dα. Тогда, согласно рис. 31б, вектор получит приращение dL = Ldα. С другой стороны, согласно уравнению моментов, dL/dt = M_mg, а момент силы тяжести равен произведению силы тяжести mg на плечо h (расстояние от центра тяжести до оси вращения). Обозначим момент инерции гироскопа относительно оси вращения через J₀, а частоту вращения гироскопа через ω₀. Тогда получим следующую цепочку преобразований:

, (90)

где m – масса гироскопа, ω_P . – угловая скорость прецессии.

Направление угловой скорости прецессии задается выражением

. (91)

Примером прецессии является движение оси вращения закрученного волчка (юлы), в случае отклонения её от вертикали. Волчок является примером гироскопа, обладающего тремя степенями свободы. Если гироскоп с тремя степенями свободы закреплен так, что моменты всех внешних сил относительно центра масс гироскопа равняются нулю, то такой гироскоп называется свободным. У свободного гироскопа центр масс в процессе движения остается неподвижным.

Примером свободного гироскопа является гироскоп в оправе «карданов подвес» (рис. 32). Ось вращения диска закреплена в подшипниках кольца, которое может вращаться относительно горизонтальной оси. В свою очередь, это кольцо закреплено в подшипниках другого (внешнего) кольца, которое может вращаться относительно вертикальной оси. Вся конструкция симметрична относительно центра масс гироскопа. Такой гироскоп три вращательные степени свободы, а его центр масс в процессе движения остаётся неподвижным (мы имеем тело с закрепленным центром масс). При этом моменты всех внешних сил относительно центра масс гироскопа равняются нулю.

Рис. 32.

Механический гироскоп в оправе «карданов подвес»

Гироскоп с тремя степенями свободы обладает рядом уникальных и интересных свойств:

1. Сохранение направления оси свободного гироскопа в пространстве. В однородном поле силы тяжести ось свободного гироскопа (главная ось) сохраняет первоначально заданное ей направление. Это свойство является следствие закона сохранения момента импульса.

2. Гироскоп является жестким по отношению к импульсному внешнему воздействию. Он не реагирует на кратковременные ударные воздействия (второе свойство гироскопа: свободный гироскоп устойчив к ударным воздействиям).

3. Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Если внешняя сила стремиться повернуть гироскоп вокруг данной оси, то он поворачивается вокруг другой, ей перпендикулярной. Направление прецессии задается векторным уравнением (91), в которое вместо момента силы тяжести следует поставить момент внешней силы.

4. Характерной особенностью прецессии является ее безынерционность: прецессионное движение существует в течение времени действия внешней силы и мгновенно прекращается с ее исчезновением.

Если гироскоп не очень быстро вращается вокруг своей оси и при этом на нее оказывается внешнее воздействие, то вектор мгновенной угловой скорости и ось симметрии гироскопа не совпадают. В этом случае помимо прецессии наблюдается движение, называемое нутацией (от лат. nutatio – колебание) (рис. 33). Другими словами, нутационное движение возникает при силовом воздействии на ось прецессирующего гироскопа. При этом, чем сильнее раскручен гироскоп, тем меньше период нутации и меньше их амплитуда ("мельче" дрожания конца оси гироскопа).

Рис. 33.

Нутация гироскопа

Нутация обязательно возникнет, если ось сильно раскрученного гироскопа наклонить, а, затем, отпустить, или во время прецессии ударить по оси гироскопа. Эти опыты демонстрируют еще одну характерную особенность нутации – с течением времени она постепенно уменьшается и исчезает. Указанные факты являются следствием неизбежного трения в опоре гироскопа. Оно, как правило, больше, чем трение вокруг главной оси гироскопа. При больших угловых скоростях вращения гироскопа нутация воспринимается глазом как мелкое дрожание оси симметрии.

В общем случае гироскоп совершает сложное движение, состоящее из прецессионного движения с постоянной угловой скоростью ω_P, на которую накладываются нутационные колебания с большой частотой и малой амплитудой.

У медленно вращающегося гироскопа нутационные колебания довольно заметны и, слагаясь с прецессией, существенно меняют картину движения оси гироскопа: конец оси может описывать ясно видимую волнообразную или петлеобразную кривую. Вид этой кривой зависит от начальных условий: направления и значения силы, с которой толкнули главную ось гироскопа, и ее исходного положения.

Нутации хорошо заметны у планет и других космических объектов, которые представляют собой гироскопы с небольшой угловой скоростью вращения.