4.4. Момент импульса

Аналогично моменту силы определяется момент импульса материальной точки относительно полюса О. Если на рис. 28 мы заменим вектор силы на вектор импульса , то вектор покажет направление вектора момента импульса. Момент импульса обозначается буквой L.

Момент импульса материальной точки относительно точки вращения О. Моментом импульса (L) материальной точки относительно точки О называется векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведенного из точки О в место нахождения материальной точки, на вектор ее импульса :

. (82)

Модуль момента импульса материальной точки L = r*p*sin(α), где α – угол между векторами и .

Размерность момента импульса – кг*м²/с.

Если материальная точка движется по окружности радиусом r, то модуль момента импульса относительно центра окружности равен

L = mvr, (83)

так как угол α между векторами и равен 90⁰.

Перейдем в формуле (83) от линейной скорости к угловой согласно (24). Тогда получим:

L = mvr = mr²*ω = Jω, (84)

где J – момент инерции точки относительно центра окружности.

Моментом импульса материальной точки относительно оси, проходящей через эту точку, называется проекция момента импульса эту ось. По аналогии с формулой (81) можно написать:

Lz = Pп * d, (85)

где d – кратчайшее расстояние между осью и линией, вдоль которой направлен вектор .

Иллюстрацией может служить рис. 29, на котором вектор меняется на вектор , а вектор – на вектор .

4.5. Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим движение материальной точки относительно неподвижного полюса О. Дифференцируя выражение (82) по времени, получим

. (86)

Так как по предположению начало О неподвижно, то производная есть скорость материальной точки, связанная с ее импульсом соотношением . Поэтому первое слагаемое равно нулю как векторное произведение коллинеарных векторов и . Второе слагаемое можно преобразовать с помощью уравнения Ньютона . Тогда получится , или

. (87)

Уравнение (87) называется уравнением моментов: производная по времени момента импульса материальной точки относительно неподвижного начала равна моменту действующей силы относительно того же начала. При выводе не предполагалось, что масса m остается постоянной. Поэтому уравнение (87) справедливо также и в релятивистской механике, т. е. при сколь угодно больших скоростях материальной точки, допускаемых теорией относительности.

Уравнение моментов (87) можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек. Моментом импульса системы материальных точек относительно некоторого начала называется векторная сумма моментов импульсов всех материальных точек системы относительно того же начала. Аналогично момент всех сил, действующих на систему материальных точек, определяется как векторная сумма моментов отдельных сил. Вместо того, чтобы складывать моменты всех сил, можно, имея в виду соотношение (80), сначала найти равнодействующую этих сил, а затем вычислить ее момент. Так же можно поступать и при нахождении импульса системы материальных точек: сначала векторно сложить импульсы всех материальных точек, а затем найти момент полученного вектора относительно рассматриваемой точки.

Предполагая начало неподвижным, напишем уравнение моментов для каждой материальной точки, а затем векторно сложим их. Тогда мы снова придем к соотношению (80), но уже для системы материальных точек. Здесь под следует понимать момент всех сил, как внешних, так и внутренних. Как было показано ранее, полный момент всех внутренних сил относительно любого начала равен нулю. Поэтому вместо уравнения (80) получается следующий результат:

_ВНЕШ (88)

Производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала.

Уравнение моментов выполняется при любом движении твердого тела. В случае вращательного движения L = Jω, и уравнение (81) можно записать следующим образом:

, (89)

где M – момент внешних сил относительно оси вращения. Это – основное уравнение динамики вращательного движения. По форме оно напоминает 2-й закон Ньютона для поступательного движения. Роль массы играет момент инерции, роль скорости – угловая скорость, роль силы – момент сил.

Момент импульса системы L = Jω также называют вращательным моментом. Поэтому основное уравнение вращательного движения можно сформулировать следующим образом:

производная вращательного импульса системы по времени равна моменту внешних сил относительно оси вращения.

При неизменяющемся J получаем:

.

Произведение момента инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно той же оси.