4.2. Момент инерции
Рассмотрим материальную точку массой m , которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:
J = mr2 (75)
Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек
(76)
Рис. 26.
К определению момента инерции точки
Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm. В результате получается следующее выражение:
(77)
Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде
dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:
(78)
Размерность момента инерции – кг*м2.
Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.
Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.
Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.
В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:
Момент инерции шара радиуса R:
Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:
Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:
Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера:
момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).
Рис. 27.
К расчету момента инерции стержня
Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md2. Отсюда получаем:
Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.
Рис. 28.
Момент силы F относительно точки O