3.21. Центральный удар шаров

Предельными, идеализированными видами соударений являются абсолютно неупругий и абсолютно упругий удары. Абсолютно неупругим называется удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает; кинетическая энергия тел частично или полностью переходит во внутреннюю. После удара тела движутся с одинаковой скоростью (т.е. как одно тело) или покоятся. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса. Механическая энергия не сохраняется — она частично или полностью переходит во внутреннюю.

Абсолютно упругим называется удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия снова переходит в кинетическую и тела разлетаются. При таком ударе выполняются закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса.

Рассмотрим центральный удар двух однородных шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры (рис. 25). Фактически, рассматривается соударение двух материальных точек.

Предположим, что шары движутся поступательно (т.е. не вращаясь), и что они образуют замкнутую систему. Обозначим массы шаров через m₁ и m₂, скорости шаров до удара и , после удара и .

1. Абсолютно неупругий удар. По закону сохранения импульса

,

где - общая скорость шаров после удара.

Отсюда:

.

2. Абсолютно упругий удар.

Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии:

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решив полученную систему уравнений, получим скорости шаров после удара:

Векторы скоростей могут быть направлены в любую сторону относительно оси . В частности, одно из тел может покоиться. Чтобы выполнить расчеты, необходимо спроецировать векторы скоростей на ось . Если при расчете какая-то проекция скорости окажется отрицательной, то это означает, что вектор этой скорости направлен в сторону, противоположную направлению оси .

Рис. 25.

Центральный удар шаров

4. Динамика вращательного движения

4.1. Модель абсолютно твердого тела

При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Соответственно, при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра инерции) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Траектории и линейные скорости разных точек различны, но углы поворота и угловые скорости одинаковы. Поскольку угловые скорости всех точек тела одинаковы, то говорят об угловой скорости вращения тела. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

При описании вращательного движения считается, что рассматриваемое тело не деформируется, т. е. расстояния между точками тела не изменяются. Такое тело в механике называется абсолютно твердым телом.

Абсолютно твердое тело – такое тело, расстояние меду точками которого не меняется.

С атомистической точки зрения силы взаимодействия между материальными точками твердого тела являются силами электрическими. Но механика рассматривает твердое тело не как совокупность атомов, а как сплошную среду, между различными элементами которой действуют внутренние силы в виде нормальных и касательных напряжений. Причиной напряжений являются деформации. Если в теле совсем нет деформаций, то не может быть и внутренних напряжений. Однако если деформации, возникающие под действием внешних сил, малы и сами по себе нас не интересуют, то в ряде случаев от них можно отвлечься. Таким путем мы приходим к идеализированной модели тела, совершенно не способного деформироваться, хотя под действием внешних сил в нем и могут возникать внутренние натяжения и давления. Это и есть идеально твердое тело. Идеально (абсолютно) твердое тело – такая же абстракция, как и материальная точка. Допустима или нет такая, как и всякая другая, идеализация — это определяется не только свойствами реальных тел, но и содержанием тех вопросов, на которые надо получить ответ.