3.19. Закон сохранения механической энергии

Рассмотрим изолированную систему материальных точек, в которой действуют только консервативные (потенциальные) силы. Состояние системы будет определяться ее конфигурацией и скоростями материальных точек, образующих систему. Под конфигурацией системы будем понимать расположение точек относительно друг друга. При переходе системы из состояния 1 в состояние 2 силы, приложенные к материальным точкам, образующим систему, совершают работу, которую мы обозначим через A. В каждом из этих состояний, различающихся скоростями материальных точек и их расположением, система будет характеризоваться соответственными значениями кинетической энергии E_kl и E_k2 и потенциальной энергии Е_P1 и Е_P2. Тогда работа A может быть выражена двояким способом: либо через разность кинетических энергий

A = E_kl – E_k2

либо через разность потенциальных энергий

A = E_P2 — E_P1.

Из этих двух равенств имеем

E_k1 + E_P1 = E_k2 + E_P2.

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной механической энергией Е:

E_k + E_P = E. (73)

Тогда можно записать:

E₁ = E₂, (74)

т. е. мы получаем, что

полная механическая энергия изолированной системы, в которой действуют только консервативные силы, остается постоянной.

Это положение называется законом сохранения механической энергии. Оно является одним из наиболее важных следствия основных законов механики.

При переходе из одного состояния в другие могут меняться кинетическая и потенциальная энергии, взятые в отдельности, но их сумма остается постоянной. Если произошло, например, увеличение кинетической энергии на некоторую величину ΔE_k, то на такую же величину ΔE_P = ΔE_k должна уменьшиться потенциальная энергия. Следует, однако, помнить, что закон сохранения механической энергии изолированной системы только тогда имеет место, когда силы, действующие в системе, являются силами консервативными. При наличии неконсервативных сил, например сил трения, сумма кинетической и потенциальной энергии системы не будет оставаться постоянной.

Рассмотрим случай падения тела в однородном поле тяжести, пренебрегая трением.

Пусть тело массы т поднято на высоту H, тогда его потенциальная энергия

E_P = mgH.

При падении тела с высоты H его потенциальная энергия убывает, но зато тело приобретает скорость, а, следовательно, и запас кинетической энергии. В конце падения эта кинетическая энергия будет равна

где – та скорость, с которой тело подлетает к Земле. Подставляя это значение v в выражение для кинетической энергии, найдем

,

т. е. к концу падения вместо потенциальной энергии возникло равное ей количество кинетической энергии. Энергия перешла из одного вида в другой, но общее ее количество осталось неизменным.

Проделаем обратную операцию – подбросив тело вверх с некоторой начальной скоростью v. При этом тело поднимется на высоту H:

Потенциальная энергия будет равна:

т. е. потенциальная энергия в верхней точке будет равна кинетической энергии вначале движения. Подобный расчет можно произвести для любой промежуточной высоты 0 < h < H и убедиться, что сумма потенциальной и кинетической энергий будет равна mgH.

Для замкнутой механической системы ее полная энергия Е, равная сумме кинетической энергии E_k и потенциальной энергии Е_р, остается постоянной:

E = E_k + E_P = const.

Убывание кинетической энергии ведет к увеличению потенциальной, и обратно. Как и в случае падающего камня, в общем случае замкнутой механической системы процессы сводятся лишь к переходу энергии из кинетической в потенциальную и обратно.

Предположим, что в замкнутой механической системе все тела сперва покоятся, тогда E_k = 0 и потенциальная энергия Е_P = Е, т. е. представляет собой полный запас энергии. Так как кинетическая энергия Е_k всегда положительна, то она может возникнуть лишь за счет убывания потенциальной энергии Е_P. Отсюда мы получим: если в начальный момент потенциальная энергия Е_P имеет минимальное возможное значение, и тела, образующие механическую систему, находились в покое (Е_k = 0), то в последующие моменты времени они не смогут, прийти в, движение, так как без внешних воздействий не сможет возникнуть кинетическая энергия E_k. Другими словами:

замкнутая механическая система, потенциальная энергия которой имеет минимальное значение и в которой отсутствуют движения тел, находится в состоянии равновесия.

Это положение можно сформулировать как условие равновесия механической системы:

условием равновесия механической системы является минимум потенциальной энергии.

Примером может служить тяжелый шар, неподвижно; лежащий на дне ямы: его потенциальная энергия E_P имеет минимальное значение, и он находится в равновесии; без воздействия извне шар не может выкатиться из ямы.