2.18. Потенциальная энергия

Если в каждой точке пространства на тело действует некоторая вполне определённая сила, то говорят, что тело находится в поле сил (будем считать далее, что величина и направление таких сил в каждой точке пространства не меняются со временем).

При перемещении тела из одной точки поля в другую силы этого поля (как любые силы, действующие на тело) совершают некоторую работу, рассчитать которую можно по формуле (58). Вычислим работу, которая совершается при движении тела (материальной точке) в поле тяжести. Если мы рассматриваем небольшие перемещения, при которых напряженность гравитационного поля меняется незначительно, то поле тяжести можно считать однородным, и сила, действующая на материальное тело массы m, равна mg, где g – ускорение свободного падения. Если тело свободно падает на поверхность Земли с высоты h, то, согласно (58), сила тяжести совершит работу величиной mgh. Эта работа, очевидно, равна энергии, которой тело обладало, находясь на высоте h над поверхностью Земли. Эта энергия уже не зависит от скорости, с которой тело двигалось, а зависит только от высоты h. Эта энергия называется потенциальной энергией. Потенциальная энергия обусловлена взаимодействием тел.

Энергия, которая обусловлена взаимодействием тел, называется потенциальной энергией.

Рис. 23.

Движение тела по наклонной плоскости

Определим работу силы тяжести при скольжении тела по наклонной плоскости (рис. 23). Пусть изначально тело находится на высоте h. Путь, который тело пройдет, двигаясь с высоты h до основания наклонной плоскости, равен s = h/cos(α). Сила, под действием которой тело скользит по наклонной плоскости – это составляющая силы тяжести, равная mg*cos(α). Таким образом, работа силы тяжести на пути s равна mg*cos(α).

Если тело движется в поле тяжести не по прямой линии, а по кривой AB (рис. 24), то мы можем мысленно разбить весь путь на малые участки AA₁, A₁A₂, A₂A₃, … и т. д. Каждый участок должен быть настолько малым, чтобы его можно было считать прямолинейным. Тогда работа силы тяжести на участке с номером N будет равна mgh_N, где h_N – проекция длины участка на вертикаль. Работа при перемещении вдоль линии АВ будет равна сумме работ на каждом малом участке:

A = mgh₁ + mgh₂ + mgh₃ + … + mgh_n = mg*(h₁ + h₂ + h₃ + … + h_n) = mgh.

В общем случае, при движении по траектории произвольной форме, работа силы тяжести вычисляется при помощи интеграла (58). Пусть тело падает с высоты h1 до высоты h2. Если ускорение свободного падения считать постоянным и принимая во внимание предыдущие рассуждения, получаем:

(65)

Здесь dh – скалярная величина, проекция вектора элементарного перемещения на вертикальное направление. Знак «минус» перед вторым интегралом появился потому, что сила тяжести направлена вниз, а ось высот направлена снизу вверх.

Таким образом, работа силы тяжести в однородном поле не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот начальной и конечной точек движения. Если тело движется сверху вниз, работа силы тяжести положительна (h₁ > h₂), если тело движется снизу вверх, работа силы тяжести отрицательна (h₁ < h₂).

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, а определяется лишь его начальным и конечным положениями, называются консервативными (или потенциальными). Примерами консервативных сил являются сила тяжести, сила электростатического взаимодействии, силы, возникающие при упругом деформировании тела.

Рис. 24.

Вычисление работы силы тяжести вдоль криволинейной траектории

Для поля консервативных сил можно ввести понятие потенциальной энергии E_P, величина которой определяется только положением тела в пространстве и не зависит от движения тела. При движении тела в поле консервативных сил его потенциальная энергия изменяется. Изменение потенциальной энергии в поле консервативных сил – это работа, совершаемая этими силами. Поскольку работа совершается за счет изменения потенциальной энергии, то изменение потенциальной энергии и работа консервативных сил должны иметь разные знаки. Вернемся к движению тела в поле тяжести. Согласно формуле (65), если тело движется сверху вниз, то его потенциальная энергия уменьшается, а работа силы тяжести является положительной. Если тело движется вверх, то его энергия увеличивается, а работа силы тяжести отрицательна. Из всего этого можно сделать следующий вывод:

изменение потенциальной энергии при перемещении тела равно работе консервативных сил поля с обратным знаком.

E_P2 – E_P1 = ΔE_P = – A. (66)

При вычислении потенциальной энергии в поле консервативных сил, выбирают какой-то уровень энергии, принимаемый за нулевой. Например, считается, что тело, находящееся на поверхности Земли, обладает нулевой потенциальной энергией.

Рассмотрим движение тела в поле тяжести по замкнутой траектории, т. е. пусть тело возвращается в ту же точку пространства, из которой началось движение. Тогда в формуле (65) h₁ = h₂, и A = 0. Это означает, что работа консервативных сил при движении по замкнутой траектории равна нулю. Как было сказано выше, работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии тела. Если мы вернулись в исходную точку, то потенциальная энергия тела осталась прежней. Согласно (66), работа равна нулю.

При вычислении работы по замкнутому контуру формула (58) записывается следующим образом:

, (67)

Где кружок на значке интеграла означает интегрирование по замкнутому контуру (т. е. путь s замкнут). Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора. Таким образом, циркуляция вектора консервативной силы равна нулю.

Для характеристики поля консервативных сил вводится понятие потенциала (отсюда другое название консервативных сил – потенциальные силы или потенциальные поля). Потенциал гравитационного поля – это потенциальная энергия тела единичной массы, находящейся в данной точке. Потенциал – величина скалярная, является характеристикой поля в данной точке пространства и является функцией координат. Потенциал – энергетическая характеристика поля.

Потенциал обычно обозначается буквой φ. Потенциальная энергия тела массы m равна m*φ. При перемещении тела из одной точки в другую изменение потенциальной энергии равно

ΔE_P = m*(φ₁ – φ₂) = m*Δφ. (68)

Работа силы равна произведению силы на перемещение. Если сила действует вдоль перемещения, то можно записать:

F*Δs = A.

Принимая во внимание (66), получаем:

F*Δs = –ΔE_P,

Сила определяется быстротой изменения потенциальной энергии вдоль траектории движения. Быстрота изменения скалярной функции вдоль какого-то направления называется градиентом функции. Градиент – это производная скалярной функции по расстоянию. По определению градиент – это вектор, направленный в сторону увеличения скалярной функции. Обозначается градиент grad или специальным символом (набла). Таким образом, в векторном виде предыдущая формула записывается так:

(69)

Здесь – единичный вектор (орт), направленный вдоль направления движения.

Консервативная сила, действующая на материальную точку, равна минус градиенту потенциальной энергии, и направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.

В трехмерном пространстве формула (69) выглядит следующим образом:

,

где – орты координатных осей.

Выше была введена силовая характеристика гравитационного поля – напряженность , которая равна силе, действующей на тело единичной массы (49). Разделив выражение (69) на m, получим:

(70)

Напряженность поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

Если мы рассматриваем поле вблизи поверхности Земли, то потенциал любой точки на поверхности Земли принимается за нулевой. Соответственно, потенциал точки, находящейся на высоте h, равен gh, а напряженность поля равна ускорению свободного падения. Если мы рассматриваем гравитационное поле материальной точки (т. е. поле Земли, Солнца или другого космического объекта на больших расстояниях, когда поле уже нельзя считать однородным), то за нулевой уровень потенциала принимается потенциал точки пространства, удаленной на бесконечно большое расстояние от рассматриваемой материальной точки.

Рассмотрим два тела массами m и M, которые находятся на расстоянии r друг от друга. Между ними действует сила гравитационного притяжения

,

где G – гравитационная постоянная. Чтобы «развести» эти тела на бесконечное расстояние друг от друга, необходимо совершить работу

. (71)

Знак «минус» появился по той же причине, что и в формуле (65): векторы и антипараллельны, т. е. вектор силы действует вдоль линии перемещения, но направлен противоположно перемещению. При удалении одного материального тела от другого материального тела работа совершается против силы тяжести, энергия взаимодействия увеличивается, поэтому работа получается отрицательной. При сближении двух материальных тел работа совершается силой притяжения за счет уменьшения потенциальной энергии взаимодействия и работа получается положительной.

Потенциал гравитационного поля – это энергия тела единичной массы в этом поле. Потенциал поля, созданного телом массы M, равен

(72)