3.13.Сила тяжести и вес

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением, которое называется ускорением свободного падения и обозначается буквой g. Это означает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массы m действует сила

P = mg,

называемая силой тяжести. Если высота тела над поверхностью Земли пренебрежительно мала по сравнению с радиусом Земли, то ускорение свободного падения определяется формулой (50), в которой r – радиус Земли, а M – масса Земли. В разных точках поверхности Земного шара ускорение g, вообще говоря, разное. В среднем принимается, что g = 9,81 м/с2.

Когда тело покоится относительно поверхности Земли, сила P уравновешивается реакцией подвеса или опоры FP, удерживающих тело от падения ( ). По третьему закону Ньютона тело в этом случае действует на подвес или опору с силой , равной , т. е. с силой

Сила G, с которой тело действует на подвес или опору, называется весом тела. Эта сила равна mg лишь в том случае, если тело и опора (или подвес) неподвижны относительно Земли. В случае их движения с некоторым ускорением вес G не будет равен mg. Это можно уяснить на следующем примере. Пусть подвес в виде укрепленной на рамке пружины движется вместе с телом с ускорением (рис. 19). Тогда уравнение движения тела будет иметь вид:

, (51)

где – реакция подвеса, т. е. сила, с которой пружина действует на тело. По третьему закону Ньютона тело действует на пружину с силой, равной , которая по определению представляет собой вес тела в этих условиях. Заменив в (51) реакцию , силой , а силу тяжести – произведением mg, получим:

(52)

Рис. 19.

Движение с ускорением в поле тяжести Земли

Формула (52) определяет вес тела в общем случае. Она справедлива для подвеса или опоры любого вида и любого направления вектора .

Предположим, что тело и подвес движутся в вертикальном направлении (в этом предположении выполнен рис. 19).

Спроектируем (52) на направление отвеса:

G = m(g ± a). (53)

В этом выражении G, g и a суть модули соответствующих векторов. Знак « + » соответствует , направленному вверх, знак «—» соответствует направлению вниз.

Из формулы (53) вытекает, что по модулю вес может быть как больше, так и меньше, чем сила тяжести . При свободном падении рамки с подвесом и сила G, с которой тело действует на подвес, равна нулю. Наступает состояние невесомости. Космический корабль, летящий вокруг Земли с выключенными двигателями, движется, как и свободно падающая рамки, с ускорением g, вследствие чего тела внутри корабля находятся в состоянии невесомости — они не оказывают давления на соприкасающиеся с ними тела.

Отметим, что часто путают силу тяжести и вес тела . Это обусловлено тем, что в случае неподвижной опоры силы и совпадают по величине и по направлению (обе они равны mg). Однако следует помнить, что эти силы приложены к разным телам: приложена к самому телу, приложена к подвесу или опоре, ограничивающим свободное движение тела в поле сил земного тяготения. Кроме того, сила всегда равна mg, независимо от того, движется тело или покоится, сила же веса зависит от ускорения, с которым движутся опора и тело, причем она может быть как больше, так и меньше mg, в частности, в состоянии невесомости она обращается в нуль.

Соотношение (52) между массой и весом тела дает способ сравнения масс тел путем взвешивания – отношение весов тел, определенных в одинаковых условиях (обычно при = 0) в одной и той же точке земной поверхности, равно отношению масс этих тел:

G₁ : G₂ : G₃ : … = m₁ : m₂ : m₃ : … .

Ускорение свободного падения g и сила тяжести Р зависят от широты местности. Кроме того, Р и g зависят также от высоты над уровнем моря – с удалением от центра Земли они уменьшаются.

На основании понятия веса тела вводится внесистемная единица силы – килограмм-сила (русское обозначение: кгс или кГ; международное: kgf или kgF). Килограмм-сила – это такая сила, которая — телу массой 1 кг сообщает ускорение 9,80665 м/с² (т. н. нормальное ускорение свободного падения). Другими словами, килограмм-сила – это вес тела массой 1 кг в земных условиях.

При изучении движения тел относительно земной поверхности нужно иметь в виду, что система отсчета, связанная с Землей, не инерциальна. Ускорение, соответствующее движению по орбите, гораздо меньше, чем ускорение, связанное с суточным вращением Земли. Поэтому с достаточной точностью можно считать, что система отсчета, связанная с Землей, вращается относительно инерциальных систем с постоянной угловой скоростью ω. Следовательно, рассматривая движение тел относительно Земли, нужно вводить центробежную силу инерции

f _in = mω²r,

где т—масса тела, r—расстояние тела от земной оси (рис. 20).

Рис. 20.

Направления силы земного тяготения и силы тяжести для тела на поверхности Земли

Ограничиваясь случаями, когда высота тел над поверхностью Земли невелика, можно положить r равным Rз*cosφ (Rз — радиус Земли, ω — широта местности).

Тогда выражение для центробежной силы инерции примет вид

f_ln = mω²Rз*cosφ. (54)

Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел g будет обусловлено действием двух сил: f_g, с которой тело притягивается Землей, и f_in. Peзультирующая этих двух сил

есть сила тяжести. Поскольку сила сообщает телу с массой т ускорение , справедливо следующее соотношение:

₍₅₅₎

Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Земле f_g невелико, так как центробежная сила инерции значительно меньше, чем f_g. Так, для массы в 1 кг выражение mω²Rз приблизительно равно 0,035 Н (ω равна 2π, деленным на 86 400 сек, R₃ составляет примерно 6400 км), в то время как f_g равна приблизительно 9,8 Н, т. е. почти в 300 раз больше, чем максимальное значение центробежной силы инерции (наблюдающееся на экваторе).

Направление совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса. Сила направлена к центру Земли. Следователь­но, нить отвеса направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах от этого направления.

Разность f_g – Р равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы f_g на экваторе. Из-за сплюснутости земного шара у полюсов сила f_g сама по себе несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение свободного падения g меняется с широтой в пределах от 9,780 м/сек² на экваторе до 9,832 м/сек.² на полюсах. Значение g = 9,80665 м/сек² принято в качестве нормального (стандартного) значения.