3.11.Центробежная сила инерции

Введение в рассмотрение сил инерции не является принципиально необходимым. В принципе любое движение можно всегда рассмотреть по отношению к инерциальной системе отсчета. Однако практически часто представляет интерес как раз движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета, например по отношению к земной поверхности. Использование сил инерции дает возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к такой системе отсчета, что часто оказывается значительно проще, чем рассмотрение движения в инерциальной системе.

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему оси z' с угловой скоростью ω (рис. 16). Вместе с диском вращается надетый на спицу шарик, прикрепленный к центру диска пружиной. Шарик при вращении занимает такое положение на спице, при котором сила натяжения пружины оказывается равной произведению массы шарика на центростремительное ускорение ω²R (R – расстояние шарика от центра диска).

Рис. 16.

Силы инерции во вращающейся системе отсчета

Относительно системы отсчета, связанной с диском, шарик покоится, так как, кроме силы, действующей со стороны пружины, к шарику приложена сила инерции:

f_in = mω2R (46)

направленная вдоль радиуса от центра диска. Силу инерции (46), возникающую во вращающейся (по отношению к инерциальным системам) системе отсчета, на­зывают центробежной силой инерции. Различные точки во вращающейся системе отсчета обладают различным по величине и направлению ускорением по отношению к инерциальной системе. В соответствии с этим центробежная сила инерции зависит от положения тела во вращающейся системе отсчета.

Центробежная сила инерции действует на тело во вращающейся системе отсчета независимо от того, покоится тело в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движется относительно нее со скоростью v'.

При точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции, равную тω_з²Rз*cosφ, где т — масса тела, ω₃ — угловая скорость вращения Земли вокруг ее оси, R₃—радиус земного шара, φ — широта местности.

3.12. Закон всемирного тяготения

Закон гравитационного взаимодействия тел в классической механике носит название закона всемирного тяготения. Этот закон был установлен И.Ньютоном на основе анализа законов движения планет Солнечной системы, открытых И.Кеплером. Согласно этому закону, все тела в природе взаимно притягивают друг друга с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

(47)

где G – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Направлена сила вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела (рис. 17). Формула (47) дает численное значение равных по величине и противоположно направленных сил и .

Тела, о которых идет речь в соотношении (47), представляют собой, очевидно, материальные точки. Для определения силы взаимодействия тел, которые не могут рассматриваться как материальные точки, их нужно разбить на элементарные объемы ΔV_i, каждый из которых можно было бы принять за материальную точку. Каждый такой объем будет иметь массу Δm_i. Затем, согласно формуле (47), вычисляются силы притяжения, действующие между всеми возможными элементарными массами в обоих телах, и результирующая сила притяжения вычисляется как векторная сумма (суперпозиция) всех элементарных сил. Практически такое суммирование сводится к интегрированию и является очень сложной математической задачей.

Рис. 17.

Гравитационное взаимодействие двух тел (материальных точек)

Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением в формуле (31) принимается равным единице. Тем самым определяется единица измерения силы. Коэффициент пропорциональности в формуле (47) уже невозможно приравнять единице, поскольку единицы измерения всех величин уже определены. Поэтому коэффициентом пропорциональности в формуле (47) является не равная единице величина, имеющая размерность и носящая особое название – гравитационная постоянная. Ее значение (с определенной точностью):

G = 6,67545×10⁻¹¹ м³/(кг·с²). (48)

Ее физический смысл можно сформулировать следующим образом: гравитационная постоянная численно равна силе, с которой притягиваются две материальные точки массой 1 кг, находящиеся на расстоянии 1м друг от друга.

Как видно, гравитационная сила взаимодействия тел весьма мала. Она имеет существенное значение только при очень больших массах взаимодействующих тел.

Величина гравитационной постоянной не зависит от природы взаимодействующих тел, оно одно и то же для всех материальных тел. Ее значение определяется экспериментально. Первый эксперимент по измерению гравитационной постоянной провел Генри Кавендиш в 1798 г. В своем эксперименте он использовал так называемые крутильные весы (рис. 18). Два свинцовых шара m (с массой 729 г каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помещались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг). Коромысло подвешивалось на упругой нити. Верхний конец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами m и М. Сила притяжения шаров m и М определялась по углу закручивания нити, поскольку по закону Гука этот угол пропорционален силе упругости, которая уравновешивает силу взаимодействия шаров.

Рис. 18.

Схема опыта Г. Кавендиша

Понятие «масса» фигурирует в двух разных законах – во втором законе Ньютона (31) и в законе всемирного тяготения (47). В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором – гравитационные свойства, то есть способность тел притягиваться друг к другу. В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу m_in и массу гравитационную (или тяготеющую) m_g? Ответ на этот вопрос может дать только опыт.

Еще в XVII в. Г. Галилей экспериментально установил, что в поле тяжести Земли все тела падают с одним и тем же ускорением. Из этого экспериментального факта следует равенство инерционной и гравитационной масс. В самом деле, рассмотрим 2 тела с разными массами. Обозначим инерционную и гравитационную массы этих тел как m_1in, m_1g, m_2in, m_2g. Пусть g – ускорение свободного падения, M – масса Земли, R – ее радиус. Тогда можно написать:

Разделив первое уравнение на второе получим:

т. е. инерционные массы пропорциональны гравитационным. При надлежащем выборе системы единиц можно сделать коэффициент пропорциональности равным единице и получить следующий вывод:

инерционная масса тела равна гравитационной массе.

Этот тезис неоднократно проверялся экспериментально. Еще Ньютон в 1687 г. доказал это равенство с точностью 10^-3. В 1901 г. венгерский физик Этвеш получил такое совпадение с точностью до 10^-8. А. Эйнштейн положил тезис о равенстве инерционной и гравитационной масс в основу общей теории относительности.

Гравитационное взаимодействие осуществляется посредством гравитационного поля. Для характеристики гравитационного поля вводится векторная величина – напряженность, численно равная силе, действующей на единичную массу:

(49)

где – сила, действующая в данной точке поля на тело массы m. Чем меньше размеры тела (и соответственно меньше его масса), тем точнее величина (49) будет характеризовать поле именно «в данной точке». Размерность напряженности гравитационного поля совпадает с размерностью ускорения. Направлен вектор напряженности в ту же сторону, что и вектор силы .

Если пренебречь обусловленной вращением Земли центробежной силой инерции, то напряженность гравитационного поля вблизи поверхности Земли можно считать равной ускорению свободного падения тел.

Согласно формуле (47) на материальную точку массы m, находящееся в гравитационном поле другой материальной точки массой M на расстоянии r от ее центра, действует сила

.

Если m = 1, то напряженность гравитационного поля материальной точки массой M равна:

(50)