3.7. Закон сохранения импульса

Рассмотрим две взаимодействующие материальные точки. Пусть эти точки взаимодействуют только друг с другом и не взаимодействуют ни с какими другими телами. В этом случае выполняется закон (34).

Вычислим изменение импульса каждой точки за время от момента времени t₁ до момента времени t₂. По второму закону Ньютона (30), изменение импульса первой точки равно:

.

Аналогично, изменение импульса второй точки за то же время:

.

Поскольку , получаем:

,

или

(36)

Формула (36) показывает, что суммарный импульс двух взаимодействующих материальных точек не изменяется, если на них не действуют никакие другие силы. Этот вывод можно распространить на систему, состоящую из произвольного количества материальных точек. Будем считать, что взаимодействие этих точек сводится к попарному взаимодействию точек системы. Силы, которые возникают при этом, называются внутренними силами. Силы, которые возникают при взаимодействии точек системы с телами, не входящими в эту систему, называются внешними силами.

Система материальных точек, на которую не действуют внешними силами, называется замкнутой. В замкнутой системе каждой силе соответствует противоположно направленная и равная по величине другая сила, и векторная сумма сил в замкнутой системе равна нулю, и суммарный импульс системы не изменяется. Таким образом, формулу (36) мы можем обобщить на замкнутую механическую систему, состоящую из произвольного количества материальных точек:

(37)

Формула (37) выражает закон сохранения импульса:

суммарный импульс замкнутой механической системы не изменяется.

Закон сохранения импульса выполняется и для незамкнутых систем в следующих частных случаях.

1. На систему действуют внешние силы, но их векторная сумма равна нулю.

2. Векторная сумма внешних сил не равна нулю, но равна нулю сумма проекций этих сил па какое-либо направление, например, на направление оси х. Полный импульс системы при этом не сохраняется, но сохраняется проекция импульса на направление оси х.

3. Время действия сил очень мало. При этом изменение импульса будет стремиться к нулю: В этом случае р = const – импульс системы сохраняется. Примером является взаимодействие тел при ударе, взрыве.

Пусть – суммарный импульс системы N материальных точек, а – результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Тогда второй закон Ньютона для системы материальных точек можно записать следующим образом:

. (38)

Если в моменты времени t1 и t2 импульс системы равен и соответственно, то

.

Изменение суммарного импульса системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно импульсу результирующей всех внешних сил, действующих на систему за этот промежуток времени.

Если то

Суммарный импульс системы материальных точек есть величина постоянная, если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю.