2.10. Связь между угловыми и линейными характеристиками вращательного движения

Точка, отстоящая от оси вращения на расстоянии R, при повороте на угол φ проходит путь (рис. 14):

s = Rφ (23)

Продифференцируем это выражение по времени:

или

v = Rω. (24)

Полученная формула выражает линейную скорость точки, движущейся по окружности с постоянной угловой скоростью ω. Продифференцируем уравнение (24):

или

aτ = Rε. (25)

Формула (25) связывает тангенциальное и угловое ускорения точки. Выражение для нормального ускорения было получено ранее (17).

Векторы угловой скорости, линейной скорости и радиус-вектор точки связаны векторным произведением:

. (26)

При этом векторы образуют правую тройку: если вращать буравчик от вектора к вектору по кратчайшему направлению, то он будет двигаться вдоль направления .

3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

3.1. Основные понятия динамики. Сила, масса, импульс

Кинематика дает описание движения тел, не затрагивая вопроса о том, почему тело движется именно так (например, равномерно по окружности, или равномерно-ускоренно по прямой), а не иначе.

Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами (взаимодействиями между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения.

В основе так называемой классической, или ньютоновской механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г.

Законы Ньютона (как и все остальные физические законы) возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их (хотя и для очень обширного, но все же ограниченного круга явлений) подтверждается согласием с опытом тех следствии, которые из них вытекают.

Причиной изменения скорости движения в механике Ньютона является сила. Сила – результат взаимодействия тел. Чаще всего в механике рассматривают взаимодействие двух тел. Но иногда, при изучении более сложных явлений, рассматривается взаимодействие нескольких тел.

Сила – векторная величина. Если рассматривается взаимодействие двух тел, то сила направлена вдоль линии, по которой эти тела взаимодействуют. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Если какое-либо тело взаимодействует с несколькими телами, то результатом взаимодействия будет векторная сумма всех сил, действующих на данное тело со стороны других тел. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, называется результирующей (или равнодействующей) силой.

Вид формулы для расчета силы зависит от природы взаимодействия.

Будем обозначать силу буквой .

В результате воздействия силы тело приобретает ускорение. Можно сказать, что сила – причина ускорения.

Опыт показывает, что ускорения, приобретаемые телами при одинаковых взаимодействиях (одинаковых силах), обратно пропорциональны их массам:

. (27)

Масса – мера инертности тела, она характеризует способность тела противодействовать приложенной силе.

В системе СИ единицей массы является килограмм (кг). Килограмм является основной единицей. Международным эталоном массы в 1 кг является масса эталонной гири, которая хранится в Парижской палате мер и весов. Эта гиря представляет собой цилиндр диаметром и высотой 39,17 мм из платино-иридиевого сплава (90 % платины, 10 % иридия). Каждая страна имеет копию этого эталона.

На данный момент килограмм — единственная единица СИ, которая определена при помощи предмета, изготовленного людьми — платиново-иридиевого эталона. Все остальные единицы теперь определяются с помощью фундаментальных физических свойств и законов. Например, метр определяется как длина пути, проходимого светом в вакууме за (1/299 792 458) секунды, а секунда есть время, равное 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

Основные свойства массы:

• масса в классической механике не зависит от скорости движения:

• масса является величиной аддитивной, т.е. масса системы тел равняется сумме масс тел. входящих в систему;

• масса замкнутой системы остается величиной постоянной, т.е. выполняется закон сохранения массы.

Плотность (ρ) – скалярная физическая величина, характеристика материала, численно равная массе единицы объема:

. (28)

Размерность плотности: кг/м³.

Импульс тела ( ) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

. (29)

Направление импульса тела совпадает с направлением скорости. Размерность импульса: кг*м/с.